拉东测度

测度论概念

拉东测度是一种正则测度。抽象测度的简称，即非负可列可加的集函数，测度论研究的对象。

定义

设为博雷尔σ代数(中元称为博雷尔集)。

拉东测度是一个博雷尔测度，并且满足以下条件：

(1)局部有限性：对任意紧集K，有限。

(2)正则性：是正则测度。

概念

拉东测度是一种正则测度。设B(Ω)是豪斯多夫空间Ω上的博雷尔集类，F是Ω上的σ代数且F⊃B(Ω)，μ是F上的正则测度，C0(Ω)是Ω上有紧支集的实值连续函数的全体。若对一切非负的f∈C0(Ω)，都有：

则称μ为拉东测度。若Ω是局部紧的豪斯多夫空间，则B(Ω)上的拉东测度与C0(Ω)上的正线性泛函之间有如下一一对应关系：若μ为B(Ω)上的拉东测度，令：

则Iμ是C0(Ω)上的正线性泛函；反之，C0(Ω)上的正线性泛函必具有这种形式。故此时的拉东测度即丹尼尔积分。

测度

抽象测度的简称，即非负可列可加的集函数，测度论研究的对象。设μ是集类C上的扩充实值集函数，满足下列条件：

1.若∅∈C，则μ(∅)=0;

2.μ为非负的，即对任意A∈C，有：

3.μ为可列可加的，即对任意一列互不相交的An∈C(n=1，2，…)，且：

有：

则μ称为C上的测度。特别地，当集类C为半环(环、代数、σ代数)时，μ为半环(环、代数、σ代数)上的测度。设μ为C上的测度。若对每个A∈C，均有μ(A)<+∞，则称μ为集类C上的有限测度。若对每个A∈C，存在An∈C(n=1，2，…)，使得：

且每个μ(An)<+∞，则称μ为集类C上的σ有限测度。抽象测度可看做勒贝格测度的推广，但一般不再有面积、体积等几何意义。在不致混淆时，带符号的测度、向量值测度等也简称测度。

正则测度

一种比较规则的测度。设Ω是豪斯多夫空间，B(Ω)是Ω上的博雷尔集类，F为Ω上包含B(Ω)的σ代数，μ是F上的测度。如果对每个A∈F，有：

则称μ为外正则的；如果对每个开集G，有：

则称μ为内正则的；既外正则又内正则的测度称为正则测度。

豪斯多夫空间

在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2 空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。

假设 X 是拓扑空间。设 x 和 y 是 X 中的点。我们称 x 和 y 可以“由邻域分离”，如果存在x的邻域U和y的邻域 V使得U和V是不相交的(U ∩ V = ∅)。X是豪斯多夫空间如果任何两个X 的独特的点可以由邻域分离。这时的豪斯多夫空间也叫做T2 空间和分离空间的原因。

X 是预正则空间，如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做 R1 空间。

在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间，当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间的二者(就是说独特的点是拓扑可区分的)。拓扑空间是预正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商空间是豪斯多夫空间。

博雷尔集类

深入讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类。由R中半开区间组成的半环所生成的σ代数，称为R上的博雷尔集类。也可定义为R中的闭集(开集)全体生成的σ代数。它是由博雷尔于1898年引入的，故以此而命名。这种集类在测度论、概率论、遍历理论等数学分支中均有广泛应用。在一般拓扑空间中可类似地引入博雷尔集类。

人物简介——拉东

捷克数学家。生于捷克的波希米亚，卒于奥地利的维也纳。1905年入维也纳大学学习，1910年获得博士学位。1911—1922年，先后在格丁根、布尔诺、维也纳、汉堡等地的大学工作，1922年受聘为格赖夫斯瓦尔德大学教授。1925—1928年任埃朗根大学教授。1928—1945年任布雷斯劳大学教授。1947年受聘为维也纳大学教授，并被选为奥地利科学院院士。拉东在变分法、实变函数论、泛函分析、微分几何学、相对论的数学理论等方面都有所贡献。他利用变分法研究微分几何以及对数位势的狄利克雷问题，发现了在数论中有重要应用的拉东曲线，还得到很有价值的拉东变换，现代医学中，对人体内部器官进行X射线断层扫描的CT机就是应用拉东变换研制成的。在实变函数论中，引入了可包含勒贝格积分和斯蒂尔杰斯积分的拉东积分，使积分概念得到进一步推广。

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