四次函数

数学函数

形如y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0，b，c，d，e为常数)的函数叫做四次函数。四次函数的图像成一般W形。

方程解法

一元四次方程与四次函数的关系

在数学中，一元四次方程是令四次函数等于零的结果，这是因为：

假定y=ax4+bx3+cx2+dx+e为目标函数

令y=0

则ax4+bx3+cx2+dx+e=0 （1）

（1）正好是一个一元四次方程。

代数基本定理告诉我们，一个一元四次方程总有四个解（根）。它们可能是复数，也可能存在两个以上的根相等的情况。具体情况如下：

费拉里法

一元四次方程方程两边同时除以最高次项的系数可得 x4+bx3+cx2+dx+e=0 （1）

移项可得 x4+bx3=-cx2-dx-e （2）

两边同时加上，可将（2）式左边配成完全平方式，

方程成为 (x2+0.5bx)2=(0.25b2-c)x2-dx-e （3）

在（3）式两边同时加上(x2+0.5bx)y+0.25y2

可得 [(x2+0.5bx)+0.5y]2= (0.25b2-c+y)x2+(0.5by-d)x+0.25y2-e （4）

（4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。

特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的判别式变成0，即(0.5by-d)2-4(0.25b2-c+y)(0.25y2-e)=0 （5）

这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的一元二次方程。

解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。

费拉里法经过简化后，实际上可以这样表述：

先将一元四次方程化为x4+bx3+cx2+dx+e=0

此方程是以下两个一元二次方程的解：

2x2+(b+M)x+2(y+N/M)=0

2x2+(b-M)x+2(y-N/M)=0

其中

M=；N=by-d，（M≠0）

y是一元三次方程8y3-4cy2-(8e-2bd)y-e(b2-4c)-d2=0的任一实根。

待定系数法

待定系数法又称为笛卡尔法

先将一元四次方程化为x4+ax3+bx2+cx+d=0的形式。

令x=y-a/4 整理后得到y4+py2+qy+r=0 （1）

设y4+py2+qy+r=(y2+ky+t)(y2-ky+m)=y4+(t+m-k2)y2+k(m-t)y+tm

比较dy对应项系数，得t+m-k2=p，k(m-t)=q，tm=r

设k≠0，把t和m当作未知数，解前两个方程，得t=(k3+pk-q)/(2k)，m=(k3+pk+q)/(2k)

再代入第三个方程，得[(k3+pk)2-q2]/(4k2)=r 。即k6+2pk4+(p2-4r)k2-q2=0

解这个方程，设k0是它的任意一根，t0和m0是k=k0时t和m的值那么方程（1）就成为

(y2+k0y+t0)(y2-k0y+m0)=0

解方程y2+k0y+t0=0和y2-k0y+m0=0就可以得出方程（1）的四个根，各根加上-a/4就可以得出原方程的四个根。

函数图像

一般来说，四次函数的图像并不都像二次函数那样的抛物线，也不多是三次函数的回归性抛物线，而是一种全新的非常规曲线，当然，具体的图像要根据函数解析式得出，待定系数法是求解析式的通用方法。画图时注意用平滑曲线连接。

函数情况

一般情况:

自然，人们为了找到这些根做了许多努力。就像其它多项式，有时可能对一个四次方程分解出因式，但更多的时候这样的工作是极困难的，尤其是当根是无理数或复数时，因此找到一个通式解法或运算法则 (就像，二次方程那样，能解所有的一元二次方程)是很有用的。

经过了许多努力，这个公式确实发现quartics——但是，自那以后已经证明(由Evariste Galois)，这种方式quartics走入死胡同，highest-degree;它们是多项式方程，其根源可以用公式用有限数目的算术运算和最后的根。从quintics，你需要更强大的方法解决代数如果出现全面阐释下寻求等变性质的五次方程。给错综复杂的四次方公式(见下面)，他们不经常使用。如果只有真正的理性的根是需要的，它们能被发现(就如同在任何程度上)为多项式通过反复试验，使用Ruffini的规则(只要所有的多项式系数是理性的)。在现代的计算机，此外，良好的数值近似根可迅速为通过牛顿法。

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