三次函数

数学术语

形如y=ax3+bx2+cx+d（a,b,c,d为常数,且a≠0）的函数叫作三次函数(cubic function)。三次函数的图像是一条曲线——回归式抛物线（不同于普通抛物线）。

图象性质

三次函数性态的五个要点

⒈三次函数在上的极值点的个数

⒉三次函数的图象与轴交点个数

⒊单调性问题

⒋三次函数f（x）图象的切线条数

⒌融合三次函数和不等式，创设情境求参数的范围

三次函数的对称中心

1.三次函数有对称中心的证明

证明：

因为f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0的对称中心是，即

所以f(x)=ax3+bx2+cx+d如果能写成f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0那么三次函数的对称中心就是。

所以设f(x)=a(x+m)3+p(x+m)+n

得f(x)=ax3+3amx2+(3am2+p)x+am3+pm+n

所以3am=b; 3am2+p=c; am3+pm+n=d;

所以m=b/3a; p=(3ac-b2)/3a; n=d+(2b3)/(27a2)-bc/(3a)

所以f(x)=a(x+b/3a)3+(c-B2/3a)(x+b/3a)+d+2b3/27a2-bc/3a

得证。

2.推广

如果f(x)是一个n次多项式，n>=2(因为直线的对称中心从狭义上讲是没有对称中心而在广义上讲是无数个对称中心)，其次项系数是，次项系数是，则有

⑴：如果y=f(x）的图像是中心对称图形，其对称中心是(-a1/（na0）,f(-a1/（na0));

⑵：如果y=f(x)的图像是轴对称图形，其对称轴是x=-a1/（na0.）

极值计算

三次函数，其导数为。易证当有两个不相等的实数根时，f(x)具有极大值和极小值。而当有两个相等的实数根或没有实数根时，f(x)不具有极值。

若f(x)有极值，设在和处取得，则满足关系式，因此以下用来介绍两种求三次函数极值的方法。

代入原方程法

该方法为高中学生必须掌握的方法，即通过解方程，将所得解x1与x2代入f(x)中得到极值。

解得。

因此极大值：

极小值：

该方法简洁明了，但存在一个问题，即如果解出来的x1与x2十分复杂（如含有根式，或数字较大等），代入f(x)中计算乘方将是一件不容易的事。下一种方法则可以较好地解决上述问题。

分解因式法

该方法与方法一有重合的地方，都是先求导，计算导数零点x1与x2，但接下来的步骤与方法一有区别。

第二步，计算。因f(x)是三次多项式，而f'(x)是二次多项式，根据多项式的除法运算法则，商一定是一次多项式，而余式也是一次多项式（若余式为常数则无极值）。

不妨设，因为我们要计算f(x1)与f(x2)，我们把x1与x2代入等号右边的式子中，再考虑到，立刻可以得到极值。这样一来无论x1与x2有多复杂，都可以避免乘方运算，减少错误。同时我们可以看到，如果的余式仅仅为常数q，那么就有，因此极值不存在。

容易得到等式

这里，而解得。

代入，得。

与方法一相比，虽然多了多项式除法这一步，但数字的计算得到了简化。

零点求法

盛金公式法

求函数的零点可用盛金公式、范盛金判别法或传统解法（卡尔丹公式法）。

三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。我国数学家、高中教师范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。

1.盛金公式

一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）

重根判别式

总判别式Δ=B2－4AC。

当A=B=0时；

当Δ=B2－4AC>0时；

其中，当Δ=B2－4AC=0时；

当Δ=B2－4AC<0时；（详细见图）

其中，（A>0，－1

2.盛金判别法

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

3.盛金定理

当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。

当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：

盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。

盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。

盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。

盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。

盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。

盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1

显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

注意：盛金定理的逆定理不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。

盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

卡尔丹公式法

此外，一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax3+bx2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x3+px+q=0的特殊型。

上世纪80年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法，同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。

盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd和总根的判别式Δ=B2－4AC来构成，体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表达式非常漂亮，不存在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式3被称为超级简便的公式。盛金公式与判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A（1/3）+B（1/3）型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：

⑴将x=A1/3+B1/3两边同时立方可以得到

⑵x3=(A+B)+3(AB)1/3(A1/3+B1/3)

⑶由于x=A1/3+B1/3，所以⑵可化为 x3=(A+B)+3(AB)1/3x，移项可得

⑷x3－3(AB)1/3x－(A+B)=0，和一元三次方程和特殊型x3+px+q=0作比较，可知

⑸－3(AB）1/3=p，－(A+B)=q，化简得

⑹A+B=－q，AB=-（p/3)3

⑺这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而⑹则是关于形如ay2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

⑻y1+y2=－（b/a），y1*y2=c/a（韦达定理）

⑼对比⑹和⑻，可令A=y1，B=y2，q=b/a，-（p/3)3=c/a

⑽由于形为ay2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1=－（b+（b2－4ac）1/2）/(2a)