圆滚线

一个刚性圆轮在直线轨道上做纯滚动时，圆轮边缘上一点所经历的轨迹

圆滚线，又称旋轮线、摆线，指一个刚性圆轮在直线轨道上做纯滚动时，圆轮边缘上一点所经历的轨迹。1501年布埃莱斯(C.Bouvillus 1470—1553)从圆化方问题引入这种曲线，但系统的研究开始于1628年。此后人们发现了它的许多有趣性质，例如，摆线是最速降线等。

简介

圆滚线指一个动圆沿同一平面内的一直线或另一圆周作无滑动地滚动时，动圆上任何点的轨迹。这种曲线首先由伽利略提出。普通单摆的周期与摆动的幅度有关。为了克服这个缺点，如果在摆动平面内做两个摆线形状的挡板，摆的运动轨迹将仍是一条摆线，摆线的名称由此而来。沿摆线弧摆动的摆锤，无论摆动幅度多大，摆动周期完全相同，因此亦称为等时曲线。

摆线的定义是梅森(Mersenne，M.)于1615年给出的。伽利略(Galilei，G.)是最早研究摆线的人。惠更斯(Huygens，C.)发现了摆线的等时性以后，就用它设计出摆动周期不受振幅变化的影响的摆线时钟。摆线这个名称，正是由于这种曲线被应用于改进钟摆而得来的。约翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)于1696年6月号《教师学报》上提出了最速降线问题，而正确答案是由牛顿(Newton，I.)、莱布尼茨(Leibniz，G.W.)、洛必达(L′Hospital，G.-F.-A.de)及伯努利兄弟等多人获得的。

圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j 角以后，圆上定点从 O 点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。

定义

平面上半径为r的动圆Q(称为母圆)沿着一条定直线l (基线)无滑动地滚动时，动圆周上点M的轨迹.取定直线为x轴(水平位置)，设动点M的初始位置为原点O，切点C(rφ，0)，则：

其中α+φ=3π/2，故摆线的参数方程为：

当参数φ从0变化到2π时，便得曲线的一拱.一拱的长为8r，且此拱与x轴之间的面积为3πr(母圆面积的三倍).曲率半径R=4r|sin φ/2|。极大值点Ak((2k-1)πr，2r)，尖点Ok(2kπr，0)(k=0，±1，±2，…)。

性质

圆滚线具有如下性质：

（1）其长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是一个不依赖于π的有理数。

（2）在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。

（3）圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。

（4）当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。

（5）摆线具有等时性。即位于摆线轨道(假定它的图形是与上图中的摆线关于x轴对称的)上的一质点从静止状态落到轨道上最低点处所需下降时间恒为π，与起始点M0位置无关。因此，摆线又称为等时曲线。

（6）设P，G为一铅直平面上不在同一条铅直线上的两点，则质点在重力作用下，沿某曲线无摩擦地从点P滑动到点G，当曲线为摆线的一段弧时，所需的时间最短。因此，摆线又称为最速降线或捷线。

关于最速降线问题

在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条才是最快的呢？伽利略于1630年提出了这个问题，当时他认为这条线应该是一条弧线，可是后来人们发现这个答案是错误的。1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解决了这个问题，他还拿这个问题向其他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利等解决了这个问题。这条最速降线就是一条摆线，也叫旋轮线。

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题——“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。

瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。

旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。

看Johann Bernoulli 对最速降线问题的beautiful解答：如果使分成的层数n无限地增加，即每层的厚度无限地变薄，则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线，因而得出最速降线的一个重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线，它是一个圆沿着一条直线滚动（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。

因此，最速降线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了。

以上便是Johann Bernoulli当时所给最速降线问题的解答。当然，这个解答在理论上并不算十分严谨的．但是，这个解答所蕴含的基本观点的发展，导致了一门新的学科——变分学。最速降线问题的最终而完备的解答，需要用到变分学的知识。

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