域论

抽象代数的分支

域论（Field Theory）是抽象代数的分支，是不少学科的基础，是代数学代数结构。

发展历程

早在19世纪初，伽罗华在研究代数方程的著作里就出现了域的概念的萌芽，后来戴德金(J.W.R.Dedekind)和克罗内克(L.Kronecker)在不同背景下也提出了域的概念。系统研究域的理论始于韦伯(H.Weber)，而域的公理系统是迪克森(L.E.Dickson)和亨廷顿(E.V.Huntington)分别于1903和1905年独立创立的。在韦伯等人的影响下，施泰尼茨(E.Steinitz)对抽象域进行了系统研究，于1910年发表论文“域的代数理论”，对域论本身以及相关科学的发展产生重大影响。

域的概念最初被阿贝尔和伽罗瓦隐含地用于他们各自对方程的可解性的工作上。

1871年，理查德·戴德金将对于四则运算封闭的实数或复数集称为“域”。

1881年，利奥波德·克罗内克定义了“有理域”（英文：domain of rationality，德文：Rationalitäts-Bereich），相当于今称之数域。

1893年，安里西·韦伯给出抽象域的首个清晰定义。

1910年，施泰尼茨于1911年发表了论文《域的代数理论》（英文：Algebraic Theory of Fields、德文：Algebraische Theorie der Körper）。论文中他以公理化的方式研究了域的性质并给出了多个域的有关术语，比如素域、完全域，和域扩张的超越次数。

虽然伽罗瓦并未提出域的概念，但一般被誉为是首个将群论和域论连系起来的数学家，伽罗瓦理论便以他命名。事实上，埃米尔·阿廷在1928至42年间才将群和域的关系大大地发展。

基础知识介绍

一个交换除环称域。即若F至少含有两个元素，且有两个代数运算+，·，F对+及F非零元集F*对·均为交换群，F对+满足分配律。研究域的代数分支称域论。一个含无穷多元素的域称无限域；一个含有限个元素的域称有限域或伽罗瓦域。由于域是交换单环，无真理想，因而域不能像群、环那样，通过对不变子群，商群或理想、商环来讨论。常用的方法是从已知域出发，研究它的扩域。

一个不含真子域的域称素域，有理数域Q是特征0的素域，是特征p的素域。并且若F是域，时，F含与Q同构的素子域；时，F含与同构的素子域。

若F是E的子域，即E是F的扩域，记为E/F 。若E/F，且，E的含F，的最小子域记为F( )。为添加于F所得的单扩域，且F( )={f( )/(ga)I g(a)≠o，f( )，g( )均为F上的多项式}；若，E的添加于F的最小子域记为。

若，且存在多项式使，称为F上代数元，否则称为F上超越元；若E/F，且E中元均为F上代数元，则称E是F的代数扩域；若是F上代数元，则是F的代数扩域，称为F的单代数扩域，添加一个超越元所得扩域即为单超越扩域。单代数扩域与单超越扩域有不同的结构：若为F上超越元，则的商域；若为F上代数元，则，其中p(x)是F上首1的不可约多项式，且时。称p(x)为在F上的极小多项式。并且若，则。

给定扩域E/F，E作为F上向量空问，若，称n为E在F上的次数，记作(E：F)。若(E：F)有限，称E为F上有限扩域，否则称为无限扩域。若有域列，且(E：I)，(I：F)皆有限，则(E：F)有限，且(E：F)=(E：I)(I：F)。一般，若，且有限(i=1，…，s)，则有限，且。单代数扩域是F的有限扩域，若在F上的极小多项式为p(x)，则。并且F的每个有限扩域一定是F的代数扩域；若均为F上代数元，则是F的有限扩域，因而是代数扩域。

每一个次数大于0的数系数多项式在给定的数域上未必能分解成一次因式之积，但代数基本定理保证了每一个次数大于0的多项式在复数范围都可分解为一次因式之积。如果F上每一个次数大于0的多项式均可分解为F上一次因式之积，称F为代数闭域，此时F不再有真的代数扩域。每个域F均存在代数扩域E，使E为代数闭域；复数域是代数闭域。

若E是F的扩域，对于F上多项式f(x)，在E上f(x)可以分解为一次因式之积，并且对F的任一较小扩域I，f(x)在J上不能分解为一次因式之积，称E为f(x)在F上的分裂域或根域。对于F上每个多项式，同构的意义下均存在唯一的分裂域。一个多项式的分裂域依赖于这个多项式系数所在的域，如作为有理系数多项式，其分裂域为，但作为实系数多项式，其分裂域仍为R。若，，在E上，则在F上分裂域。

有限域是一类重要的域，有限域的特征为素数。设F为特征p的有限域，△为F的素子域，且(F：△)=n,则，且F是在△上分裂域。对任何素数p及正整数n，均存在个元的有限域，且同构意义下唯一。有限域结构简单：若F是有限域，△为F的素域，则存在F中，。有限域的非零元构成的乘群皆为循环群。若F*=(a)，则F=△( )。利用有限域的性质可以构造出各种对称性质的组合结构，如正交拉丁方，平衡区组设计等，这些组合结构有效地应用于试验设计，通信系统等许多实际领域中，特别随着计算机技术蓬勃发展，有限域理论成了广大工程技术人员不可缺少的数学工具。

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