塑性全量理论

塑性力学中用全量应力和全量应变表述弹塑性材料本构关系的理论

塑性全量理论，塑性力学中用全量应力和全量应变表述弹塑性材料本构关系的理论，又称塑性变形理论。是描述简单加载条件下金属塑性变形过程中应变和应力之间关系的物性方程(本构方程)。它是简单加载条件下，增量理论的简化方程，所以是塑性加工力学中最简单的本构方程。

定义

塑性力学中用全量应力和全量应变表述弹塑性材料本构关系的理论，又称塑性变形理论。1924年H.亨奇从变分原理出发，得出了一组关于理想塑性材料的全量形式的应力-应变关系（即本构关系）。它是简单加载条件下，增量理论的简化方程，所以是塑性加工力学中最简单的本构方程。简单加载也称比例加载，是指加载过程中物体内任一点的应力分量均按比例增加。

此后，苏联的A.A.伊柳辛提出简单加载定理，使全量理论更为完整。全量理论的本构方程在数学表达上比较简单，但它不能反映复杂的加载历史，在应用上有局限性。

本构状态方程

控制变量变分原理的基础理论之一是现代控制论中的最优控制理论。因此最首要的是确定系统的参数和建立系统的状态方程，即所谓“系统辩识”问题。系统的参数可分为状态变量和控制变量二部分。所谓状态变量是指能够完全描述系统状态的最小的一组变量。就弹塑性全量边值问题而言,确定系统状态的物理量有位移ui、应变￡lj和应力oij共15个变量，其中有些通过定解方程可以从另一些量导出，有些则因其所描述的定解方程被变分极值的结果所取代而不必显式给出，因此完全描述系统并不同时需要这么多变量。对于最小势能原理，可取位移ui(三个变量)作为状态变量；对于最小余能原理，状态变量取应力iaj(共六个)。一般地，对于广义变分原理，状态变量可以是上述15个变量中的某些组合，这就要看所选用的能量泛函的形式了。在弹塑性系统中，流动参数d入控制着系统作弹性或塑性状态的变化，保证屈服条件不致破坏，因而可作为系统的控制变量。

系统的状态方程是描述实际系统各物理量之间关系的数学表达式。对于弹塑性系统来说，描述各物理量之间内在联系的是本构关系，因此本构关系可以作为系统的状态方程。经推导后表达成一定实用形式的本构关系称为本构状态方程。从可控性的角度考虑，一般要求在控制容许域内本构状态方程能够保证控制变量具有唯一性。当本构状态方程表达成线性互补的形式时，可满足这一要求，且最终的有限元数值解呈线性状态，可大大简化计算。

本构方程

在加载过程中，若应力张量各分量之间的比值保持不变。按同一参数单调增加，则加载称为简单加载，不满足这个条件的叫复杂加载。在简单加载下，用全量应力和全量应变表达的本构方程为：

式中和分别为应力偏量的分量和应变偏量的分量；

其中称为等效应力，称为等效应变。在全量理论中，为简化起见，假设在简单加载条件下曲线是单值对应的，并和简单拉伸时的应力-应变曲线一样。在上诉的全量理论中，应力和应变之间存在着一一对应的关系。

简单加载定理

塑性全量理论，严格地说，要求结构内部每一质点的材料都经历简单加载的历史。但实际结构大多数是在非均匀应力条件下工作的，要保证结构内部每一点都满足简单加载条件，对于结构所承受的载荷和结构的材料必须提出某些要求。伊柳辛指出，如果满足如下的四个条件，结构内各点都经历简单加载：①小变形；②所有外载荷都通过一个公共参数按比例单调增加，如有位移边界条件，只能是零位移边界条件；③材料的等效应力和等效应变之间的关系可以表示为幂函数形式；④材料是不可压缩的。这就是简单加载定理。

进一步的研究还表明，全量理论不仅在简单加载的条件下适用，对于某些偏离简单加载的加载路径也适用。至于在一般情况下应力路径偏离简单加载路径多远仍可使用全量理论的问题，还需要继续从理论和实验两方面进行研究。由于全量理论的公式比较简单，应用于实际计算比塑性增量理论方便，因此，使用相当广泛。

强度试验

在复杂结构件的强度试验中，零组件、构件的拉断、屈服及失稳现象是结构破坏过程的主要表现形式。构件塑性形态的产生、发展直到最后破坏，均与试验过程中构件承载的应力密切相关。通常情况下应力是判断结构承载能力最重要的依据，但结构实验检测到的直接数据是构件变形而不是应力，所以在研究弹塑性问题时，把直接检测到的应变通过应力应变表述函数转换成对应载荷下的确切应力至关重要。

研究弹塑性问题时，通常使用塑性增量理论或塑性全量理论。在增量理论中，应力与应变的全量关系必然与加载路径有关，但是，这在复杂结构试验中很难搞清楚。在理论研究和大量试验数据的基础上，应用全量理论，提出一种新的应力应变表述函数，从而为解决复杂应力状态下的弹塑性问题提供理论依据。

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