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外微分

数学名词

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。

定义
一个k阶微分形式的外微分是一个k+1阶的微分形式。对于一个k-形式ω =fIdxI在R上，其定义如下：
对于一般的k-形式 ΣIfIdxI（其中多重指标I取遍所有{1, ...,n}的基数为k的有序子集），我们只作了线性推广。注意如果上面有i=I则 。
性质
外微分满足三个重要性质：
（1）线性
（2）楔积法则
（3）d2=0，蕴涵了混合偏导数的恒等式的公式，所以总有
可以证明外微分由这些性质和其与0形式（函数）上的微分的一致性唯一决定。d的核由闭形式组成，而其像由恰当形式组成 。
坐标不变公式
给定一个k-形式ω和任意光滑向量场V0,V1, …, Vk我们有
其中 表示李括号，而帽子记号表示省略该元素:
特别的有，对于1-形式，我们有：
更一般的，李导数由李括号定义：
而一般微分形式的李导数和外微分密切相关。区别主要是记号上的。
微积分中
下面的对应关系揭示了向量微积分的诸多公式实际上只是上述外微分的三个法则的特殊情况而已。
梯度
对于一个0-形式，也就是一个光滑函数f:R→R，我们有
所以，对于向量场V
其中grad f代表f的梯度而<·, ·>是标量积。
旋度
对于一个1-形式 在R上，
它限制到三维情况 就是
因此，对于向量场U, V=[u,v,w]和W我们有 其中curl V代表V的旋度×是向量积，而<·, ·>是标量积。
散度
对于一个2-形式
对于三维，若 我们得到
其中V是一个向量场定义为V=[p,q,r].
范例
对于1-形式 onR我们有
这刚好就是在格林定理中被积分的2-形式。
向量微积分的恒等式：
与
皆是外微分第三性质—— 的特例。
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