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微分形式

微分几何概念

微分形式(differential form)是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由著名法国数学家埃里·卡当(Elie Cartan)引入的。

定义
流形定义
设M为光滑流形，ω:M→Λ(T*M)，若对于外形式丛Λ(T*M)的丛射影π，满足π∘ω=id，则称ω为M上的微分形式。
ω:M→Λk(T*M)，若对于微分k形式丛Λk(T*M)的丛射影π，满足π∘ω=id，则称ω为M上的微分k形式，简称k形式。
向量丛定义
设ξ:E→M为向量丛，则M的取值于ξ的微分k形式为丛Hom(Λk(T*M),ξ)的截面，这些截面的集记为Ak(M,ξ)。
相关概念
设η:P×𝖌→P为平凡丛，联络形式ω∈A1(P,η)，曲率形式Ω∈A2(P,η)。
微分r形式全体构成的空间记为E(M)，E(M)是C(M)模。因此，M上微分r形式是光滑的反对称r阶共变张量场。微分形式全体构成的空间为
设β∈E(M)，(U，y1，…，yn)为M上某点处的图册，则微分k形式β局部地可表示为
其中bi1…ik是U上的C函数.
E(M)关于外积有一个代数结构，设ω，φ∈E(M)，c为常数，可以定义ω+φ，cω，ω∧φ，f∧ω(f是0形式)，从而使E(M)在外积之下构成一个分次代数.
欧几里得空间
微分形式是微分几何学中最基本的概念。 我们首先以n维欧氏空间Rn为例， 来解释微分形式。 设 是欧氏空间坐标。 在这个空间中， 我们有自然的度量， 即欧几里得度量, 它的微分表达式为
。 这里 是传统的一阶微分。而 指的是 和它自己的在域R上的张量积。类似地，ds是无穷小向量dr的模长，而 是ds和自己在域R上的张量积。
把 作为基向量，其中，p为 中的一个点，以实常数为系数，可以生成域R上的一个n维的向量空间， 称为 在点p的余切空间，在线性同构的意义下，它就是 自己而已；而如果把系数由常数换成点p所在的开邻域上的实值函数，则上述的n个基向量可以生成函数环上的一个n秩的模，叫做一阶外微分形式模。在代数几何中，这个模是很常用的。
另一方面， 对一个n维向量空间V, 假设 是基向量. 我们可以定义r次外积空间, 这个空间由以下形式的外积（有时也称楔积）作为基元素生成： , 这里 。
今取 , 则 中的元素称为r次微分形式， 它可以写成基元素 的线性组合。 这里每个基元素前的系数可以视作坐标 的函数。
微分形式的概念也可以从欧氏空间推广到微分流形上。所有微分形式放在一起构成一个外代数。
外微分
微分形式的一个优点就是能做外微分 运算。 比如 是一个r次微分形式， 那么 。这就把一个r次微分形式映到了r+1次微分形式。换言之，我们有映射d: → . 这个映射称为外微分。
易知两次外微分的复合等于零， 即dd=0，即庞加莱引理。一个微分形式ω如果满足dω=0, 我们就称其为闭形式。 如果存在另一微分形式γ, 使得ω=dγ， 我们就称其为恰当形式。 利用dd=0这一条件，我们就得到所谓的德拉姆复形， 由这个复形，就导出了所谓的德拉姆上同调， 它就是闭形式生成的向量空间商掉恰当形式以后得到的商空间。
此外， 外微分运算还满足牛顿-莱布尼兹公式， 即对区域边界某外微分的积分等于对区域内该外微分的微分的积分。是高斯公式，斯托克斯公式的概括和总结，是单变量微积分中牛顿-莱布尼兹公式在多变量中的推广。
相关概念
设f:M→N为光滑映射，若α∈Ak(N)，则α沿f的拉回为M的k形式f*α，定义为
(f*α)(p)(v1,...,vk)=α(f(p))(f*v1,...,f*vk)，p∈M，vi∈TpM。
当k=0时，即α为M的函数φ，则f*φ=φ∘f。
f*:A(N)→A(M)为代数同态。
df*=f*d。
f*诱导出线性变换f*:Hk(N)→Nk(M)。
斯托克斯定理
利用外微分和积分运算， 我们可以得到著名的斯托克斯定理。 它是说一个恰当形式ω=dγ在定义域M上的积分，就等于γ在M的边界上的积分。这个定理有很多特殊情况， 都是经典微积分理论中的重要公式， 比如牛顿莱布尼兹公式， 高斯公式， 格林公式 等等。
斯托克斯定理表明， 外微分算子d和拓扑图形的边缘算子是相伴的。 这暗示了微分分析和拓扑学之间的微妙联系。
例子
取平面上的一阶微分ω=Pdx+Qdy. 那么, 这里是Q关于x的偏导数，其余类似。
此时的斯托克斯公式就是格林公式， 即线积分可以转化为面积分。
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