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拉回

范畴论术语

拉回是范畴论的基本概念之一推出的对偶概念，是一种特殊但重要的反向极限，在范畴论、同调代数、代数K理论、拓扑学与几何等学科中有重要的应用。

定义
给定范畴C与J=与对角函子Δ:C→CJ，f:b→a与g:d→a为C中态射，则拉回为从Δ到的泛态射，其对应的终对象为。
等价定义
对范畴 C 中的一对态射的拉回是一对态射满足 ，并且具有泛性质：对C中任意态射，并且满足，存在唯一的态射，满足，即有交换图表如图1所示。
例子
在集合范畴中，f与g的拉回是集合
X×zY={(x，y)∈X×Y∣f(x)=g(y)}
以及投影映射的限制与映到X×ZY。
这个例子启发另一种方式考虑拉回：作为态射fop1,gop2:X×Y→Z的等化子，这里X×Y是X和Y的二元积
而p1与p2是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上，由极限存在定理，在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。
在任何具有终对象Z的范畴中，拉回X×ZY恰好是普通积X×Y。
设V与W为线性空间，给定g∈W*，线性映射f:V→W诱导出映射h∈V*为h(v)=g○f(v)，故有诱导映射f*:W*→V*，h=f*g称为g在f*下的拉回，即f*g=g○f。
=<ω,f*V>。
拉回丛
给定纤维丛ξ=π:E→B，其纤维为F，结构群为G。给定一个连续映射f:X→B，X×BE为其拉回，X×BE是X上的纤维丛，称为ξ沿f的拉回丛，伴随的交换图表是纤维丛映射。
n阶向量丛p:E→B沿同伦的f0,f1:A→B的拉回丛等价。
性质
推出
【push out】
对范畴 C 中的态射的推出是一对态射满足，并且具有泛性性质：对C中任意态射，并且满足，存在唯一的态射，满足，即有交换图如图2所示。
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