多复变函数

学科

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显著的区别。因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。

简介

自从复变函数的理论被广泛应用于数学的各个分支后，人们自然想把复分析推广到任何多个自变量，以及任何多个因变量的复向量值函数上。多复变函数就是研究这类推广的复变函数。

一开始，人们认为这种推广只不过是形式上的照搬而已，但是很快人们就发现多复变函数与单复变函数有着许多差异。

首先，多复变函数什么时候是全纯函数？Hartoges 花了很大的力气才证明：多复变函数全纯当且仅当它对每个自变量都是全纯的。这个结论看似简单，实则难矣。迄今为止，人们都没有找到一个简化的证明。

其次，关于函数的延拓也存在着极大的差异。我们知道，复平面上任何单连通的开集上都存在一个单复变函数，它不能延拓到这个开集之外--满足这种性质的开集叫做全纯域。但是在多复变函数里却发生了奇特的现象：有一些开邻域，它们上面的任何全纯函数都可以延拓到外面去。这种现象称为Hartoges现象。如果一个开邻域不能发生Hartoges现象，我们就成这个邻域为全纯域。

历史发展

多复变函数论的研究，早在单复变函数论的(G.F.)B.黎曼和K.(T.W.)外尔斯特拉斯时代就已经零散地开始了。但真正标志着多复变函数论这一学科创立的，是19世纪末和20世纪初(J.-)H.庞加莱、P.库辛、F.M.哈托格斯等人的工作。他们的研究揭示了多复变全纯函数本质上的独特性。在这当中，库辛提出的关于全纯函数整体性质的两个以他命名的问题以及E.E.列维提出的拟凸域和全纯域是否等价的问题，更有着深远的影响，长时间成为多复变函数论发展的一个推动因素。20世纪30年代以前，虽然出现过K.莱因哈特关于解析自同构群、S.伯格曼关于核函数和度量等重要工作，但整个说来，多复变函数论处于相对沉寂的时期。从30年代开始，多复变的研究迎来了初步繁荣。这一时期中陆续出现了H.嘉当关于全纯自同构的惟一性定理、有界域全纯自同构群的李群性质以及全纯域与全纯凸的等价性的嘉当－苏伦定理等突出成果。特别是从1936年开始，日本数学家□□对库辛问题、列维问题、逼近问题等多复变的中心问题进行了长期、系统而富有成效的研究，终于在50年代对上述诸问题给出了解答。他的这一系列工作对以后年代的多复变的发展有着重大的影响。50年代以后，和近代数学的综合化、抽象化的总潮流相一致，在多复变函数论中用拓扑方法和几何方法研究全纯函数的整体性质的趋势变得越来越明显。由J.勒雷引进拓扑学的层及其上同调的概念被迅速而成功地用于多复变。这一概念和H.嘉当早先关于全纯函数理想论的研究以及□□的思想结合，导致了凝聚解析层理论的建立。与此同时，复空间和施泰因流形的概念也应运而生。H.嘉当和J.P.塞尔系统地应用凝聚层理论建立了施泰因流形的基本定理。此后不久，H.格劳尔特解决了复流形的列维问题，他和R.雷默特、施泰因等人还大大发展了复空间的理论。整个50年代无疑是多复变发展的黄金时代。

近代微分几何与复分析的相互溶合也在不断加快步伐。1913年，(C.H.)H.外尔的黎曼曲面理论导致了复流形概念的建立。□.(-J.)嘉当的外微分式与拓扑的结合产生了G.- W.德·拉姆的上同调理论。以此为基础，W.V.D.霍奇将黎曼曲面上的调和函数理论推广到高维的紧致复流形，证明了紧复流形的基本定理──霍奇定理。40年代以后，与微分几何中的博赫纳技巧相结合，霍奇理论又由小平邦彦所发展和完善。60年代,博赫纳－小平邦彦方法又进而推广到非紧的带边界的复流形，发展成为近代多复分析的一个有力工具:□问题的L□估计。

多复变函数论中具有重要意义的第三方面进展是C.L.西格尔在1935～1950年间建立的多复变函数的自守函数论。50年代以后,由于A.赛尔伯格、R.朗兰兹、И.□.盖尔范德等人的工作，揭示了它与代数数论、李群的无穷维表示。

多复变数的全纯函数

多复变全纯函数研究的内容自然不是与单复变共同的性质，而是它的独特性质。如解析开拓及零点的局部性状等。

解析开拓

Hartogs发现，设K是 (n≥ 2)中一个域，K是K中的紧集，K-K连通，那么任何在K-K全纯的函数都可以延拓到整个K，成为K上的全纯函数。这种性质是单复变全纯函数所决不具有的，与这种现象有关的研究构成了多复变函数论的基本内容之一(见全纯域与Levi问题)。

零点的局部性质

单复变中全纯函数的零点是孤立的,多复变函数的零点，即使从最简单的例子 f=z1z2来看已经不再是孤立的，解析集的结构及多复变函数在其零点附近的性状较之单复变的相应情况要复杂得多。

全纯域与Levi问题

如果K是复平面C中的一个域，K~是另一个包含K而较大的域，那么总是存在K中全纯而不能全纯延拓到K~的函数(只要任取在K~中而不在K的一点a，考虑函数1/z-a即可)。这种现象在多复变函数中不再成立。从而导出全纯域的概念，域K Cn称为全纯域，如果不存在更大的包含K的域K~，使任何K上的全纯函数可以全纯延拓到K~上。全纯域的刻划在多复变函数的历史发展中长时期处于主导的地位。其中有一重要进展是:K是全纯域的充要条件是K全纯凸。从而更自然给出域的几何刻划。

定义：具有穷竭的多重次调和函数的域称为拟凸域。根据Cartan Thullen定理，不难证明全纯域是拟凸域。困难的、长期未解决的是其反面:拟凸域是否一定是全纯域?这就是所谓Levi问题。五十年代中期Levi问题得以解决。Levi问题的解决引出了大量的，至今仍很活跃的推广性研究。例如，对复流形而言的Levi问题就变成了什么样的复流形是Stein流形?

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