多复变函数论

数学术语

多复变函数论简称多复变。它是研究多个独立复变数的全纯函数性质的学科。就工具而言，由于多复变函数论中问题的复杂性，所以涉及拓扑、微分方程、微分几何、代数几何、抽象代数、李群和泛函分析，以及实变函数论和复变函数论的大量概念和方法，且有自己独特的处理办法。

简介

多复变函数论简称多复变。它是研究多个独立复变数的全纯函数性质的学科，单复变函数论是研究复平面及黎曼曲面中的域上的解析函数的性质，多复变函数论则是研究n(n≥2)个独立复变量z=(z1,z2,...,zn)的全纯函数的性质。为此，首先要将复平面推广到复欧氏空间，将黎曼曲面推广到复流形及复空间，然后研究它们的域上的全纯函数的性质。

大多数单复变函数论中的结果，无法平行地推厂到多复变函数的情形，在这种情形下，经典问题有什么新提法、新形式和新结果，又有什么新的问题，这正是多复变函数论所要研究的，

另一方面，多复变函数论又有着大量的应用，所以多复变数函数论是一个富有生命力的数学分支。

研究方向

就工具而言，由于多复变函数论中问题的复杂性，所以涉及拓扑、微分方程、微分几何、代数几何、抽象代数、李群和泛函分析，以及实变函数论和复变函数论的大量概念和方法，且有自己独特的处理办法。

多复变函数论有很多不同的研究方向，大体上有：

1.积分表示，

2.算子理论，

3.奇点理论，

4.值分布理论，

5.逼近理论，

6.函数空间理论和调和函数论，

7.全纯开拓，

8.施坦流形理论，

9.双全纯映射的几何理论，

10.域的分类理论，

11.自守函数论，

12.亚纯函数和亚纯映射理论，

13.复空间理论等。

发展

从历史上来看，真正使多复变函数论成为一门独立学科的，是源于19世纪末和20世纪初庞加莱、哈托格斯(Hartogs,F.M.)、库辛(Cousin,P.)和列维(Levi,E.E.)等人的出色的工作。

庞加莱首先发现，在C2中球和多圆柱不是全纯等价的，这说明单复变中著名的黎曼映射定理在多复变中不再成立；哈托格斯则发现在Cn中存在这样一类域，其上的所有全纯函数都可以全纯开拓到比它更大的域上去，这在单复变中是不可能的；库辛提出的以他的名字命名的单复变中的米塔-列夫勒(Mittag-Leffler,(M.)G.)定理和外尔斯特拉斯定理在多复变中的推广的两个问题和列维提出的拟凸域是否全纯域的问题更是长期以来推动着多复变函数论的发展。

20世纪30年代出现的嘉当(Cartan,H.)关于全纯自同构的惟一性定理和有界域的全纯自同构群是李群的出色工作，特别是冈洁(Oka,K.)对库辛问题和列维问题的深入研究，导致20世纪50年代对上述问题的最终解决。

具体地说，1936年，冈洁首先在多项式凸域上，稍后，他于1937年在一般的全纯凸域上解决了库辛第一问题；1942年，列维问题首先由冈洁在C2中解决；后来，冈洁于1953年，布雷默尔曼(Bremermann,H.J.)于1954年，诺盖(Norguet,F.)于1954年独立地解决了任意维数的中的列维问题。1958年，格劳尔特(Grauert,H.)用凝聚解析层的理论解决了复流形上的列维问题。

到了20世纪60年代中叶，科恩(Kohn,J.J.)和赫尔曼德尔利用算子的L2估计，证明了在拟凸域上问题有解，从而可以容易地解决列维问题和库辛第一、第二问题。1970年，辛钦(Henkin,G.M.)得到强拟凸域上问题解的积分表示，由它不难得到问题解的L∞估计。

1980年，路丁(Rudin,W.)的《Cn中球上的函数论》出版后，又引发了众多的学者去研究球上的函数论。作为有界对称域和强拟凸域的最简单的模型，球上函数论的进展又推动着有界对称域和强拟凸域上函数论的进一步发展。

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