多目标规划

数学规划分支

多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming)。

基本定义

多目标规划

multiple objectives programming

数学规划的一个分支。研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 VMP。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家 V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克尔、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

规划简史

1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下的多目标问题。1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年，H.W.库恩和 A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题，引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963年，L.A.扎德从控制论方面提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自70年代以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。

求解方法

化多为少

即把多目标规划问题归为单目标的数学规划（线性规划或非线性规划）问题进行求解，即所谓标量化的方法，这是基本的算法之一。

①线性加权和法　对于多目标规划问题（VMP），先选取向量

要求λi>0(i=1,2，…,m)

作各目标线性加权和

然后求解单目标数学规划问题。

λ 的各个分量λi(i=1,2，…，m）通常叫做权系数。它的大小反映了各相应分目标在问题中的重要程度。一般，对权系数的不同选取，可以得到问题 (VMP）的不同的有效解或弱有效解。如何选取权系数，对于不同的问题可以有不同的处理方法。

② 理想点法　为了求解多目标规划问题（VMP），先依次极小化各个分目标。设求得第 i个目标的极小值多目标规划，则得到R中的一个点多目标规划多目标规划。由于点ƒ多目标规划的各个分量对于相应的分目标而言是最理想的值，故称ƒ多目标规划为问题（VMP）的理想点。选取权系数λi>0（i=1,2，…，m），并作偏差（函数）多目标规划，最后求解数学规划问题

问题（2）的最优解是问题（VMP)的有效解。理想点法的基本思想是在某种意义下使向量目标函数与所考虑问题的理想点的偏差为极小，来求出多目标规划问题的有效解。在上述偏差中，p的不同取值代表了不同意义的偏差。当取p=2，λi=1(i=1，2，…，m），则偏差就为距离多目标规划多目标规划。这种情形，理想点法也叫做最短距离法。

分层求解

对于问题（VMP），假若目标函数多目标规划的各个分目标可以按其在问题中的重要程度排出先后次序，并设这个次序为：ƒ1(x),ƒ2(x），…，ƒm(x）。先对第一个目标进行极小化：多目标规划，设得到的最优解为x。然后，按下述格式依次分层对各目标进行极小化：

式中多目标规划。设k=m时得到问题（3）的最优解x，则在每一多目标规划的条件下，x是多目标规划（VMP）的有效解。在实用中，为了保证每一多目标规划，常把上述Xk中的等式约束作适当的宽容，即给出一组所谓宽容量 δi(i=1,2，…，m- 1），并以多目标规划代替（3）中的Xk。在δi>0 的条件下，由多目标规划k代替Xk所得到的x是多目标规划 (VMP）的弱有效解。

其它方法

对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。

规划方法

在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。

1896年法国经济学家 V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。

非劣解

规划模型

任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；

（2）若干个约束条件。

有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程，

则：

Z=F(X）是k维函数向量，