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多项式插值

利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值

插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中已知的若干点的函数值，作出适当的特定函数，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为多项式插值。常用的几种多项式插值法有：直接法、拉格朗日插值法和牛顿插值法。

定义
给定n+1个点 （称为插值点），所谓多项式插值就是找到一个多项式（称为插值多项式）
使得它满足条件
其中，i=0,1,...,n。也就是说，多项式y=P(x)的图像要经过给定的n+1个点。
在实际应用中，这些插值点可能来自某次实验测量所得的数据，也可能来自某个复杂函数 的值。通过计算插值多项式，我们可以找到这些实验数据间的规律，或者使用简单的多项式函数 来近似复杂的函数 。
唯一性和误差
定理一：
给定n+1个点 ,若 两两不同，则存在唯一一个次数不超过n的多项式 ，使得 成立。
证明：利用范德蒙德矩阵和代数学基本定理即得。
当 的值来自某个函数 ，且f(x)具有n+1阶连续导数时，下面的定理可以用来计算多项式插值的（截断）误差。
定理二：
给定n+1个点 ,其中 ，进一步假设函数f(x)具有n+1阶连续导数，则插值多项式P(x)的误差R(x)为
其中，
计算方法
给定n+1个点, 计算插值多项式的主要方法有：直接法、拉格朗日多项式插值和牛顿多项式插值。下面我们分别介绍这三种方法。
（注意，根据定理一，这三种方法得到的插值多项式在理论上说应该是一致的，而且误差也相同。）
直接法
根据定理一，假设插值多项式为
由插值条件 ，我们得到关于系数 , ,…, , 的线性方程组
通过求解这个线性方程组，即得到插值多项式。
优点：直接，性质一目了然。
缺点：待求解的线性方程组的系数矩阵为范德蒙德(Vandermonde)矩阵，它是一个病态矩阵，这使得在实际求解方程组时将产生很大的误差。
拉格朗日多项式插值
拉格朗日(Lagrange)多项式插值的原理是：先构造一组拉格朗日基函数 ，这些基函数为次数不超过n的多项式，且具有性质
然后将这些基函数做线性组合，得到拉格朗日插值多项式
容易验证，多项式L(x)满足插值条件
拉格朗日基函数 的构造如下：
由基函数的性质，当 时， ，即 为 的零点，可以假设
其中，K为待定系数。再由 ，得到
从而得到
因此，基函数
令 ，则 还可以表示为
下面的定理说明 称为基函数的原因：
定理三：令 为全体次数不超过n的多项式构成的集合，则 是线性空间 的一组基。
Matlab 实现
均差与牛顿多项式插值
牛顿多项式插值是基于均差的计算。首先定义均差如下：
函数f(x)关于点的一阶均差（或差商）为
一阶均差反映了函数在区间的平均变化率
用递归的方式，我们定义二阶均差为
同理，k阶均差为
特别地，0阶均差定义为 。
根据均差的定义，构造均差表如下：
如果将x也看作一个点，由均差的定义可以得到
其中，
称为牛顿插值多项式。
为插值余项。
由定理一和定理二得到均差和导数的关系如下：
其中，
Matlab实现
比较
拉格朗日多项式插值的计算量大于牛顿多项式插值的计算量。
特别地，当新增一个插值点时，拉格朗日插值需要重新计算全部的基函数，而牛顿插值只需计算均差表中新的一行的值即可。
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