大集定理

数学术语

“大集问题”就是大集的存在问题，所谓“大集定理”就是要证明它存在的充要条件。陆家羲用递归法证明了以下的大集定理：如果v≡1,3(mod6)，v>7和v∉{141，283，501，789，1501，2365}，则D(v)=v-2，已有人编成了大集定理的算法程序，在计算机上予以验证，大集定理的结论是完全正确的。

基本介绍

早在1853年，瑞十数学家斯坦纳(Steiner)在研究四次曲线的二重切线时遇到了一种(vu，3，1)区组设计，这就是所谓斯坦纳三元系。区组设计研究对数字通讯理论、快速变换、有限几何等领域显示出重要的作用。而斯坦纳三元系在区组设计理论中具有基本的重要意义，个数达到v-2，且满足某一充要条件的诸斯坦纳三元系组成的集叫大集，所谓“大集问题”就是大集的存在问题；所谓“大集定理”就是要证明它存在的充要条件。

1979年至1981年，我国组合数学工作者陆家羲创造性地利用前人的成果，巧妙地设计了一系列递归构造，用六篇论文、五十多个定理和引理证明了大集定理。

陆家羲用递归法证明了以下的大集定理：

如果v≡1,3(mod6)，v>7和v∉{141，283，501，789，1501，2365}，则D(v)=v-2。

陆家曦与大集问题

自大集问题问世130多年来，许多数学家被大集问题所吸引，并为之绞尽脑汁，付出巨大的劳动，但是所得结果还是零零碎碎的。1981年5月号的《组合论杂志》上载文称：“这个问题离完全解决还很遥远。”

十一届三中全会之后，改革开放的春风吹到塞外钢城，陆家曦开始了一生中最紧张的阶段。他白天教课，晚上搞科研，翻开他1979年12月的日记，31天中竞有21天记着：“夜工作”、“夜补课”、“夜写论文”、“夜思考Bays猜想”和“夜打英文稿”等。每逢春节，他总是让妻子带着孩子去岳母家过年，而自己却在大街小巷彻夜的鞭炮声中遨游在数学王国里。

妻子虽然支持丈夫的科研，但也担心他的健康，便劝他每天晚饭后去散步，熬夜最晚不要超过12点，但是他研究的是数学难题，一旦思路展开便不好随便收场，因此常常不得不违反妻子的规定，只顾拼命地工作，从1979年2 月24日到7月20日，陆家曦先后向《数学学报》投寄了三篇论文，其中一篇“可分解平衡不完全区组设计的存在性理论”发表在1984年第4期《数学学报》上，这是他在国内杂志上发表的第一篇论文，也是最后一篇论文，发表时他已去世9个多月。

1979年10月，陆家曦的科研又取得了重大突破，他在寄给国际权威杂志《组合论杂志》的信中，预告了自己已经基本解决了“不相交斯坦纳三元系大集”，该杂志的回信称：“如果属实，将是一个重要的结果。”又说：“这个问题世界上许多专家都在研究，但离完全解决还十分遥远。”他们没有料到，这个问题却被一个中国的中学物理教师基本上解决了。

1981年9月18日起，《组合论杂志》陆续收到陆家曦题为“论不相交斯坦纳三元系大集”的系列文章，西方的组合论专家们惊讶了，加拿大著名数学家、多伦多大学教授门德尔逊说：“这是二十多年来组合设计中的重大成就之一。”加拿大多伦多大学校长斯特兰格威(D.W.Strangway)致包头九中校长的信中说：“亲爱的先生：门德尔逊教授说：包头九中的陆家曦是闻名西方的从事组合理论的数学家，并且说，有必要应同意把他调到大学岗位，他要我告诉你们：这样的调动对发展中国的数学具有重要的作用，而且希望所表达的意愿能获许可，你的真诚的D.W.Strangway.1983年9月30日，”我国的组合数学专家们组成的“陆家曦学术工作评审委员会”在1984年9月15日所作的评价是：

“……陆家曦同志独创地引进了AD，AD*，AD**，LD和LD*等辅助设计及有关大集LAD1，LAD2和LAD3，创造性地利用了前人的结果，巧妙地设计了一系列的递归构造，严谨地证明了互不相交的v阶斯坦纳三元系的大集，除了六个值外，对所有v≡1或3(mod 6)，v>7都存在，从而宣告了这一问题的整体解决（关于例外值，他已有腹稿，但在写作过程中便不幸逝世了，仅留下一份提纲和部分结果）。众所周知，1960年，博斯(Bose)等证明了当t>1时，关于4t+2阶正交拉丁方的欧拉猜想不成立；1961年Hanai给出并证明了k=3和4的（b，v，r，k，λ）设计存在的充要条件，这是区组设计理论中的两大举世闻名的成就，陆家曦关于大集的成果可以与上述两大成就相媲美，并将同它们一起载入组合数学的史册。”

纵观古今数学定理的证明，视对象之不同，既有蔚为大观的鸿篇巨制，也不乏短小精悍的精炼之作，而以高屋建瓴的气概，依据独创的55个定理和引理，用100个印刷页、10万字的篇幅来证明一个定理，实属罕见，堪称一项大型工程。陆家曦的证明是创造性的，这正符合我国古算传统的祖训遗风，这是东方数学的特点和光荣。

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