奇异曲面

微分对策的概念之一

奇异曲面(singular surface)是微分对策的概念之一。指不同性质区域的界面。微分对策问题状态空间中不同性质定义的区域间的界面。在微分对策中，对于不同的问题存在有多种不同形式的奇异曲面，它们常在解题中起着支配性的作用。

概念

奇异曲面(singular surface)是微分对策的概念之一。指不同性质区域的界面。微分对策问题状态空间中不同性质定义的区域间的界面。在微分对策中，对于不同的问题存在有多种不同形式的奇异曲面，它们常在解题中起着支配性的作用。例如，有的奇异曲面将状态空间分为一些不同性质的区域，在每一区域中轨线的性质不同；又如，有些特殊性质的轨线，就在某种奇异曲面上运动；再如，某种奇异曲面是具有某种性质的轨线的出发地等。对各种奇异曲面没有统一的理论，只能分别进行分析。

微分对策

微分对策是一种对策。指应用微分方程组来描述连续动态决策过程的对策。微分对策起源于研究军事上的追踪问题，但它不是单纯的追和逃的追踪问题。微分对策是在20世纪50年代中期发展起来的一种新的对策理论，已被广泛应用于最优控制、系统工程和军事决策中。在微分对策中，控制规律表示为状态变量的函数，向量x(t)表示时刻t时双方的状态变量，φ(x)表示追方的控制量，ψ(x)表示逃方的控制量.当φ(x)和ψ(x)选定后，双方的运动情况可由微分方程dx/dt=f(x，φ，ψ)来描述，当给定初始状态x后，各方选择控制规律φ(x)和ψ(x)，即可求出在这局对策中自始至终的运动路线。

两个或多个局中人为实现各自最优目标的动态对策，其动态过程由微分方程来描述。微分对策实际上是一种双方或多方的最优控制问题。其最优策略所应满足的必要条件，可像最优控制理论中的极大值原理那样导出。微分对策的研究兴起于20世纪40年代，直到1965年，艾萨克斯对完全对抗的二人零和对策问题进行了研究，才奠定了微分对策的理论基础。各种微分对策的构成要素可归结为：(1)参加对策的各方局中人拥有不同的利益。(2)局中人依据自己掌握的信息做决策。(3)根据对策规则，局中人的地位可能不同。(4)对策的结局由各局中人的控制作用共同决定。对应于这些要素的不同情况，可把微分对策做出各种形式的分类。例如，可按局中人的数目分类为n人微分对策，n=2，3，…。也可按结局分类：当结局只有赢或输时，称为定性微分对策;当结局的得失在连续范围内变化时，称为定量微分对策。也可按局中人利益的性质分类：当局中人的利益为对抗时，称为零和微分对策;当局中人既有竞争又有合作时，称为非零和微分对策。按局中人之间的合作程度，还有组队最优、纳什均衡、帕累托最优和协商策略等多种形式。微分对策在军事、工业控制、航空航天、环境保护、经济管理和市场竞争等方面都有应用。

在捕获-逃逸的动态对策问题中，还经常会遇到诸如哪一方能最终达到目标之类的定性微分对策问题。对此亦有许多理论研究。例如，可以在状态空间中划分出可捕获区和可逃逸区，并说明它们与系统模型参数(诸如飞机的速度和转弯半径等)之间的关系，这些均有重要的实际参考价值。对于动态非零和对策问题，包括动态纳什对策、动态主从对策，也都有许多研究。虽然也可列出极大值原理型的条件，但往往导致非古典的、未知函数相互耦合的两组两点边值问题的求解，均难以处理.各控制函数依信息结构不同，可以是开环式的时间函数、状态反馈形式或是带记忆的状态反馈(称为闭环解)，它们都会导致本质不同的结果。对动态纳什对策，可以证明状态反馈解就是闭环解，它们都满足最优性原理，并可用动态规划求解。但对动态主从对策这一结论不成立。由于这里涉及主方对从方的“错误”行动，应有足够的信息，及时发现，仍有机会给以惩罚，这里需要一些比较特殊的信息结构，以及uL对JF足够的影响力。

序贯性决策

也称动态决策。它是按决策要求获得答案的数目多少及其相互关系的情况划分出的一种决策类型，是单项决策的对称。它要求做出一系列相互关联的决策。序贯性决策有两种基本类型：(1)解决的问题要做两项或两项以上的决策，即多级决策。例如：某项改革是进行?还是不进行?如果决定进行，那么遇到某种阻力时又将怎样?这就需要进行几个项目的决策后，才能做出总体决策。(2)解决统一决策过程中几个时间阶段(或时点)条件下，有密切相关的一连串问题的决策，即多阶段决策。例如：拟实行某项改革，而方案的最后的取舍是取决于该项改革的整个时间阶段中不同时间阶段的可能条件。因而决策者就得先做出这个总体决策不同时间阶段(从后往前分时序)的各项决策，经过一定的取舍后再做出总体决策。序贯性决策有两个特点：(1)它所做出的决策不是一个而是一连串性的。(2)这一连串决策不是彼此无关的，而是前一项决策直接影响后一项决策。此种决策要直接考虑到时间先后的动态变化。序贯性决策可以一次全部决策下来，也可以先确定第一步怎样做，然后为第二步定出几个可能的方案，规定将来按第一步行动后果的不同而选用不同的第二步方案，以后的几步也采用这种“可变”的计划。有时还可以包括这种决策，即某个方案在执行中遇到的情况变化时应当变换方案的规定。

状态空间

状态空间是控制工程中的一个名词。状态是指在系统中可决定系统状态、最小数目变量的有序集合。而所谓状态空间则是指该系统全部可能状态的集合。简单来说，状态空间可以视为一个以状态变数为座标轴的空间，因此系统的状态可以表示为此空间中的一个向量。

状态空间表示法即为一种将物理系统表示为一组输入、输出及状态的数学模式，而输入、输出及状态之间的关系可用许多一阶微分方程来描述。

为了使数学模式不受输入、输出及状态的个数所影响，输入、输出及状态都会以向量的形式表示，而微分方程（若是线性非时变系统，可将微分方程转变为代数方程）则会以矩阵的形式来来表示。

状态空间表示法提供一种方便简捷的方法来针对多输入、多输出的系统进行分析并建立模型。一般频域的系统处理方式需限制在常系数，启始条件为0的系统。而状态空间表示法对系统的系数及启始条件没有限制。

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