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奇异积分

数学名词

奇异积分（singular integral）为一数学名词，是谐波分析的核心，也是傅里叶分析的中心概念，和偏微分方程的研究有密切关系。广义而言，奇异积分是一个积分算子。

定义
奇异积分是指以下的积分变换：
其中核函数 沿对角线 时是奇异的，而且当 趋近0时，使得 的大小渐近趋近 。
具体而言，奇点是这样的 是大小 渐近为 。因为这样的积分通常不可能是绝对可积的，所以严格的定义必须把它们定义为积分的极限。 为 ，但实际上这是一个技术性问题。通常需要进一步的假设来获得结果，例如它们在 上的有界性。
卷积类型的奇异积分
卷积类型的一个奇异积分是一个运算符，它是通过在核心上进行卷积来定义的，这个核心在 上是局部可积的，
假设内核满足：
1. 的傅立叶变换的大小条件 ，
2.平滑度条件：对于一些C> 0， 那么可以证明 在 上有界并且满足弱类型（1,1）估计。
属性1.需要确保卷积与温和分布 由主值积分给出
是L上的一个明确的傅里叶乘子。性质1或2都不容易验证，并且存在各种充分条件。通常在应用程序中，也有一个取消条件
这是很容易检查。例如，如果K是一个奇数函数，它是自动的。如果，另外，假设2和以下大小条件
那么可以表明平滑条件。原则上也经常难以检查，可以使用以下K的充分条件：
注意到这些条件对于Hilbert和Riesz变换是满足的，所以这个结果是这些结果的延伸。
非卷积型的奇异积分
如果关联到Calderón-Zygmund内核，则是一个非卷积型奇异积分算子，
每当f和g平滑并且有不相关的支持时。这样的操作符不需要在L上有界
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