子集公理

数学术语

ᗄy∃zᗄx(x∈z↔x∈y∧P(x)),其中P(x)为ZF形式语言中的任一公式。这个公理说明：“给定任何集合y,有着一个集合z．使得给定任何集合x．有x是z的成员当且仅当x是y的成员并且P(x)对于x成立。”注意对于所有这种谓词P都有一个公理．所以这是个公理模式。

定义

若x为集合，则存在集合y，使得对任意x的子集z，有z∈y。

详细介绍

子集公理的意思是：对于一个已经存在的集合C，可以将其中所有具有性质ψ(x)的元素汇集在一起构成一个新的集合B．显然，集合B是集合C的子集，子集公理由此得名.

子集公理模式是ZF集合论中公理模式之一，它也叫作分类公理模式、分离公理模式、受限概括公理模式．或简称概括公理模式。理解这个公理模式，要注意集合z必须是y的子集。所以，这个公理模式实际上说的是．给定集合y和谓词P．我们可以找到y的子集z,它的成员完全是满足P的y的成员。通过外延公理可知．这个集合是唯一的。通常使用集合建造符号把它指示为{x∈y I P(x)}。所以这个公理的本质是：一个集合的通过一个谓词定义的所有子类自身是一个集合。

无限制的概括公理是说：

∃zᗄx(x∈z↔P(x))。

这个公理表明：存在着一个集合z,它的成员完全是满足谓词P的那些对象。集合z再次是唯一的，并通常记为{x丨P(x)}。在采纳严格公理化之前，这个公理模式默认地用在早年的朴素集合论中。不幸的是，通过采用P(x)为x∉z．它直接导致了罗素悖论。所以，有用的集合论的公理化不使用无限制概括，至少不和经典逻辑公理集合证一起使用。只接受子集公理模式是公理化集合论的开端。多数其他ZF公理系统（不包括外延公理或基础公理）都包含一个可以替代概括公理的公理；并且．每个这样公理都声称一个特定集合存在，并通过给出它的成员必须满足的谓词来定义这个集合。

在贝尔奈斯一哥德尔的集合论中．集合和类之间有着区分。一个类T是集合，当且仅当它属于某个类y。在这个理沦中，有一个定理模式读做：

∃xᗄz(z∈x↔(P(x)∧∃y,z∈y)，定义set(x)↔y,x∈y之后，它可以简写为

∃xᗄz(z∈x↔(P(x)∧set(z)))。这个公理说明：有一个类x使得任何类z是x的成员，当且仅当z是满足P的一个集合。这个定理模式自身是受限的概括，避免了罗素悖论，因为它要求z是一个集合。接着把集合自身的分类写为单一的公理：ᗄxᗄz,set(y)→∃z,set(z)∧ᗄu(u∈z↔u∈y∧u)。

就是说：给定任何类x和任何集合y．有一个集合z,它的成员完全是x和y二者共有的成员。这说明类x和集合y的交集自身是一个集合z。在这个公理中，谓词P被替代为可量化在其上的类x。

在蒯因( Wilard van Orman Quine)所开创的新基础集合论中，给定谓词的概括公理采用无限制形式，但是对可以用于这个模式的谓词自身是有限制的。谓词（x∉x）是禁止的，因为同一个符号x出现于成员关系符号的两端（因而有不同的“相对类型”），从而避免了罗素悖论。但是，采用P（x）为（x=x）是允许的，我们可以形成所有集合的集合。

与概括原则

子集公理和概括原则的联系，它们之间的区别在于一个是不加任何限制地将所有具有性质ψ(x)的对象汇集为一个集合，一个是将一个已经存在的集合中具有性质ψ(x)的对象汇集为一个集合．所以，可以认为，子集公理是对概括原则的一个限制。

与空集公理

ZF2空集公理：∃Bᗄx(x∉B).

空集公理的意思是：存在没有任何元素的集合．

公理集合论ZFC中的公理不具有独立性，即并非都是不可缺少的．有了子集公理实际上我们可以证明空集公理．因为，根据定理可知，集合是存在的，那么我们可以任意取定一个集合A，然后使用x≠x作为性质ψ(x)，那么根据子集公理有：

∃Bᗄx(x∉B↔x∈A∧x≠x),

由此可得:

∃Bᗄx(x∉B).

但是为了方便，人们仍然将空集公理作为公理使用．