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安培环路定理

物理学术语

在稳恒磁场中，磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。

简介
它的数学表达式是
按照安培环路定理 ，环路所包围电流之正负应服从右手螺旋法则。如果闭合路径l包围着两个流向相反的电流I1和I2（ 如图1所示）
按图1中选定的闭合路径l 的绕行方向，B矢量沿此闭合路径的环流为
如果闭合路径l包围的电流等值反向，或者环路中并没有包围电流，则：
积分形式
电流I在一个曲面 上的通量，等于B场沿着 的边缘闭合回路 的路径积分。采用国际单位制，原版安培定律的积分形式可以写为：
。
请注意到这方程有些模糊之处，需要特别澄清：
第一，边界曲线 的正向与曲面 的侧符合右手规则。
第二，（固定 ）定理之成立与以 为边界 的的选择无关。
安培定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明（请参阅毕奥-萨伐尔定律）。在静磁学中，安培定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时，我们可以利用这对称性，使用安培定律来便利地计算磁场。例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。
微分形式
根据开尔文－斯托克斯定理，这方程也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候，也就是说，当电场对于时间的偏微分等于零的时候，这方程才成立。采用国际单位制，这方程表示为
。
磁场 的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度 。
缺点
原版安培定律只适用于静磁学。在电动力学里，当物理量含时间，有些细节必须仔细检查。思考安培方程，
；
其中， 是B场， 是磁常数， 是总电流。
取散度于这方程，则会得到
。
应用一个矢量恒等式，旋度的散度必定等于零。所以，
。
这意味着电流密度的散度等于零：
。
在静磁学内，这是正确的。但是，出了静磁学范围，当电流不稳定的时候，这就不一定正确了。
一个正在充电的电容器，左边的圆形金属板，被一个假想的封闭圆柱表面 包围。这圆柱表面的右边表面 处于电容器的两块圆形金属板之间，左边表面 处于最左边。没有任何传导电流通过表面 ，而有电流 I通过表面 。
举个经典例子，一个正在充电的电容器，其两片金属板会随着时间分别累积异性电荷。设定表面 的边缘为闭合回路 。应用安培定律，
。
在这里， 是通过任意曲面的电流，只要这曲面符合一个条件：边缘为闭合回路 。所以，这任意曲面可以是表面 ，而 是I；或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面 ，而由于通过这任意曲面的电流是 0， 是0。选择不同的曲面会得到不同的答案，这在物理学里，是绝对不允许发生的事。
为了解决上述难题，安培定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法，麦克斯韦摹想磁场为电介质涡旋（vortex）大海，而位移电流即为大海内的电极化电流。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面，麦克斯韦将位移电流项目加入了安培定律。
证明方法
如果在某个载流导体的稳恒磁场中可以找到一条闭合环路l，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，载流长直螺线管内磁场 应用安培环路定理 忽略了左右下的部分，证明并不是在环路上B的大小处处相等环路方向与磁感应强度方向相同处，B的大小方向处处相等。
对称环路
在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r 的圆形环路l，
则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为
其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角 ，H沿这一环路 l 的环流为
式中积分 是环路的周长。
于是上式可写成为
从上式看到，H沿此圆形环路的环流 只与闭合环路所包围的电流I 有关，而与环路的大小、形状无关。
任意环路
在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为
H与dl的夹角为 ，则H对dl的线积分为
直导线中心向线元的张角为 ，则有 ，所以有
可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。
那么B对整个环路的环流值为
上述计算再次说明H的环流值 与环路的大小、形状无关。
不包围电流
在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如图2所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为 的射线，在环路上截取两个线元 和 。 和 距直导线圆心的距离分别为 和 ，直导线在两个线元处的磁感强度分别为 和 。从图2可以看出 ，而 。利用安培环路定理的证明之二的结论可知
结论
所以有：
从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故 即环路不包围电流时，B的环流值为零。
安培环路定理反映了磁场的基本规律。和静电场的环路定理 相比较，稳恒磁场中B 的环流 ，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
计算应用
利用安培环路定理求磁场的前提条件：如果在某个载流导体的稳恒磁场中，可以找到一条闭合环路l，该环路上的磁感强度B大小处处相等，B的方向和环路的绕行方向也处处同向，这样利用安培环路定理求磁感强度B的问题，就转化为求环路长度，以及求环路所包围的电流代数和的问题，即
利用安培环路定理求磁场的适用范围：在磁场中能否找到上述的环路，取决于该磁场分布的对称性，而磁场分布的对称性又来源于电流分布的对称性。因此，只有下述几种电流的磁场，才能够利用安培环路定理求解。
1.电流的分布具有无限长轴对称性
2.电流的分布具有无限大面对称性
3.各种圆环形均匀密绕螺绕环
利用安培环路定理求磁场的基本步骤
1.首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；
2.根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路；
3.利用公式求磁感强度。
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