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实向量空间

实数域ℝ上的向量空间

实数域ℝ上的向量空间叫实向量空间。并且定义了加法和标量乘法这两种运算。

定义
向量空间的基本模型是n维行向量或列向量的空间：
ℝn：行向量的集合，或列向量的集合。
虽然行向量写起来占的空间较少，但矩阵乘法的定义使得列向量对我们更方便。因而多数情况下使用列向量，为了节省空间，我们有时把列向量写成的形式。
向量加法：
标量乘法:
这些运算使成为一个向量空间。
一个实向量空间是具有两个合成法则的集合（所有及所有）：
(a)向量加法:；
(b)标量乘法：；
并且这两个合成法则必须满足下列公理：
(i)加法使V成为阿贝尔群；
(ii)标量乘法与实数乘法是结合的：
(iii)用实数1作标量乘法是恒等作用：
(iv)两个分配律成立：
当然，所有公理都应加上全称量词，即假设它们对所有及所有。
中加法的单位元记作0，或者，为了不混淆零向量和数0，记作。
注意，标量乘法将由实数c和向量组成的每对元素对应另一向量，这样的法则称为向量空间的外部合成法则。
两个向量的乘法不是结构的一部分，虽然可以定义不同的积，如中向量的叉积，这些积不完全是内在的，它们依赖于坐标的选择，因此将它们看成向量空间上的额外结构。
仔细看一下公理(ii)．左边是指先把a和b作为实数相乘，然后用ab和v作标量乘法而得到的向量，右边两个运算都是标量乘法。
两个合成法则由基本的分配律联系起来．注意，在第一个分配律中左边的符号+代表实数加法，而在右边则代表向量加法。
相关性质
在一个向量空间V中，下列等式成立(零向量记作)：
(a)对所有
(b)对所有
(c)对所有.
证明 为证(a)，用分配律写出
两边消去得到。请仔细看一下，注意哪个0是数，哪个0是向量。
类似地，。于是。最后
因而，是的加法逆。
例1 的子空间是一个这样的向量空间，即它的合成法则由上的合成法则导出。
例2 设是复数集．忘掉复数乘法，只保持加法以及复数和实数的乘法，这使得成为实向量空间。
例3 实多项式的集合是向量空间，其合成法则为多项式的加法以及标量和多项式的乘法。
例4 设V是区间[0，1]上实值连续函数的集合，只看函数加法以及数与函数的乘法两个运算，这使得V成为实向量空间。
注意，这些例子都有比我们将其视为向量空间更多的结构，这些是很典型的例子，每一个例子一定有不同于其他例子的特性，这并不是定义的缺陷，恰好相反，抽象方法的威力就在于一般公理的结论可用于许多不同的实例。
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