对流扩散问题

流体力学所研究问题的属性

对流扩散问题是主要研究流体中由流体质点所携带的某种物理量，如温度或溶解于流体中的物质的浓度在流动过程中的变化规律。

定义

这种变化一般包括对流、扩散以及由于某种物理化学原因引起的物理量自身衰减或增长的过程。

对流扩散现象包括河流污染、大气污染、核废物污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象。对于同时伴有物质输运和分子扩散的物理过程以及粘性流体的流动，其数学模型通常为对流扩散方程或含有此类方程的偏微分方程组的定解问题。

涉及物理过程

假定u =u (x ,y ,z ,t)是流体中单位体积所携带的物理量。如物理量是流体介质的质量，则u表示密度；如物理量是某种污染物的含量，则u是表示污染浓度；如物理量是热能，则u是热量或温度。为研究物理量u的变化规律，在流场中任取一个有限区域V，其边界为S。V中流体所携带的物理量u的变化，由下列三方面物理过程组成。

(1)对流过程

由于流体处于宏观的流动状态,V中u的总量因对流而发生变化,可以认为它由两方面组成：一项是在V中u随着时间的增长而产生的变化；另一项是区域V中由于流体流动，位置发生变化所引起流体中u的变化，也就是V中u的积分量的随体导数。

(2)扩散过程

扩散过程包含有分子布朗运动形成的分子扩散以及流体湍流运动形成的湍流扩散。这种扩散使得物理量u在流场中由高值向低值方向移动。若扩散的速率用q表示，它是单位时间内通过单位面积的物理量，Fick定律给出了物理量在流场中的扩散速率公式q=-Kgrad(u)，其中张量K=Km+Kt，Km是分子扩散系数张量，Kt是湍流扩散系数张量。K的各个分量值取决于含有物理量u的流体的状态与性质。一般地说，企图在理论在确定K值是非常困难的，通常是通过实验测定。如果扩散是各向同性的，则可写成q=-kgrad(u)，其中k是扩散系数，它可以是u或其它物理量的函数，也可以是常数。

(3)源和汇

流场中物理量u的自身增长与衰减，一般是通过分布在流场中的源和汇来描述。这种源和汇是场的分布函数，记为Q。Q＞0表示源，它将使u增长；Q<0表示汇，它将使u减小。u增长或减小的速率由源或汇的强度，即Q绝对值的大小来反映。在区域V中，由于源汇的作用使u的增加量为∮QdV，通常我们将Q分为源增长项和汇衰减项。线性衰减类型的表达式为Q =f-βu，其中f>0是源分布函数，β≥0是衰减函数。另一种常用的衰减类型的时间的指数规律，Q =f-u0 e^(-1/γ)，其中u0是初始时刻物理量u的浓度，t是时间变量，γ是衰减常数。

难点

对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。

对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。

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