面积

数学术语

当物体占据的空间是二维空间时，所占空间的大小叫做该物体的面积，面积可以是平面的也可以是曲面的。平方米、平方分米、平方厘米，是公认的面积单位，用字母可以表示为（m2，dm2，cm2）。

简介

面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的，或者用单一涂层覆盖表面所需的涂料量。它是曲线长度（一维概念）或实体体积（三维概念）的二维模拟。

可以通过将固定尺寸的形状与正方形进行比较来测量形状的面积。在国际单位制（SI）中，标准单位面积为平方米（平方米），面积为一米长的正方形面积，面积为三平方米的形状与三个这样的正方形相同。在数学中，单位正方形被定义为具有面积1，任何其他形状或表面的面积都是无量纲实数。

有几种众所周知的简单形状的公式，如三角形，矩形和圆形。使用这些公式，可以通过将多边形分成三角形来找到任何多边形的面积。对于具有弯曲边界的形状，通常需要微积分来计算面积。事实上，确定飞机数字面积的问题是演算历史发展的主要动机。

对于诸如球体，锥体或圆柱体的实体形状，其边界面的面积被称为表面积，简单形状的表面面积的公式由古希腊人计算，但计算更复杂形状的表面积通常需要多变量微积分。

面积在现代数学中起着重要的作用。除了其在几何和微积分中的显着重要性，面积与线性代数中的决定因素的定义有关，是微分几何中表面的基本特性。在分析中，使用Lebesgue测量来定义平面的子集的面积，尽管并不是每个子集都是可测量的。一般来说，高等数学领域被视为二维地区体积的特殊情况。

可以通过使用公理来定义面积，将其定义为某些平面图的集合与实数集合的函数。可以证明存在这样的函数。

发展历史

圆的面积

在公元前5世纪，希俄斯堡的希波克拉底是第一个显示盘片面积（由圆圈包围的区域）与其直径的平方成比例的，作为他在希波克拉底时代的正交的一部分，但没有确定比例常数。 Cnidus的Eudoxus也在公元前5世纪也发现磁盘的面积与其半径平方成正比。

随后，欧几里德要素的第一卷涉及二维人物之间的平等。数学家阿基米德使用欧几里德几何的工具来表明，在他的书“测量圈”中，一个圆内的区域与一个直角三角形的直角三角形相同，其直径三角形具有圆的圆周长度，高度等于圆的半径。（圆周为2πr，三角形的面积为基准的一半乘以高度，产生磁盘的面积为πr2）。阿基米德的近似值为π（因此单位半径圆的面积）与他的倍数方法，其中刻有一个正三角形的圆圈并注明其面积，然后将边数增加一倍，给出正六边形，然后随着多边形的面积越来越接近圆的边数，反复加倍边数（并用限定的多边形做同样的）。

1761年，瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特（Johann Heinrich Lambert）证明，一个圆的面积与其平方半径的比值是无理数，这意味着π不等于任意两个整数的商。 1794年，法国数学家Adrien-Marie Legendre证明π2是无理数;这也证明π是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）证明，π是超越数（不是任何具有理性系数的多项式方程的解），证实了勒让德和欧拉的推测。

三角形面积

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

这个公式相传由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦（Heron of Alexandria）命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量论》（Metrica）中给出证明。

在印度数学和印度天文学古典时代的一位伟大的数学家 - 天文学家499年，Aryabhata将三角形的面积表示为Aryabhatiya高度的一半。

中国人独立于希腊人发现了此公式，由秦九韶撰写，在1247年出版的《数书九章》（“九章数学论”）上发表。

四边形面积

在公元七世纪，Brahmagupta开发了一个公式，现在称为Brahmagupta的公式，用于其侧面的循环四边形（四边形刻在圆中）的面积。 1842年，德国数学家Carl Anton Bretschneider和Karl Georg Christian von Staudt独立地发现了一种称为Bretschneider公式的公式，用于任何四边形的面积。

一般多边形面积

17世纪由雷内笛卡尔发展笛卡尔坐标允许在19世纪由高斯开发具有已知顶点位置的任何多边形面积的测量师公式。

使用微积分确定面积

17世纪末的积分演化提供了随后可用于计算更复杂面积的工具，例如椭圆的面积和各种弯曲的三维物体的表面积。

单位

面积（square）的测量单位主要包括：

平方米（米的二次方m2）——国际标准单位

公亩——100平方米

公顷（ha/hm2）——10,000平方米

平方公里（km2）——1,000,000平方米

市制：

平方市里——0.25平方公里