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对称多项式

数学概念

一个多元多项式，如果把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。x2+y2+z2，xy+yz+zx都是关于元x、y、z的对称多项式。

多项式简介
F 上的一个 n 元多项式 称为对称的如果任意交换两个变元均不改变该多项式，即对于任意 有 。
两个 n 元对称多项式的和、差，积仍是对称多项式。但对称多项式的因式不一定是对称的。
下面的对称多项式称为初等对称多项式 (elementary symmetric polynomial)：
显然， 是 s 次齐次多项式。
基本定理
定理
令 ，即 为一次形式（不定）乘积多项式 的展开式系数的全体，则对任意对称多项式 ，我们可以得到 其中 为 元多项式。
证明
对 各项进行字典排序，即 ，取循环多项式 为 则易知 的字典序降一，故由归纳法可证其成立。
举例
例一
分解因式
分析 这是一个二元对称式，二元对称式的基本对称式是 任何二元对称多项式都可用 表示，如 ，二元对称多项式的分解方法之一是：先将其用 表示，再行分解.
解 ∵
∴原式
例二
分解因式
此题中若将式中的 换成 换成 换成 ，即为 ，，原式不变，这类多项式称为关于 的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号 如对一元多项式 可记作 即表示当 时多项式的值，如 时多项式 的值为 ，当 时多项式 的值为
因式定理 如果 时，多项式 的值为零，即 ，则 能被 整除(即含有 之因式)。
如多项式 ，当 时， ，即 含有 的因式，事实上 。对于多元多项式，在使用因式定理时可以确定一个主元，而将其它的元看成确定的数来处理。
解 这是一个含有 三个字母的三次多项式，现以 为主元，设 ，易知当 和 时，都有 ，故 和 是多项式的因式，而视 为主元时，同理可知 也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式。
故可设 ，其中 为待定系数，令 ，可得 。
所以 。
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