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射影

一个存在于数学及物理学中的概念

射影是一个存在于数学及物理学中的概念，存在于集合论、线性代数、几何学以及拓扑学等诸多理念中。在平面几何中，与一个图形相似的图形叫做这个图形的射影。

历史
射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。但直到十九世纪才形成独立体系，并趋于完备。
1822年法国数学家彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。
射影几何学在航空、测量、绘图、摄影等方面有广泛的应用。
向量
设单位向量e是直线m的方向向量，向量AB=a，作点A在直线m上的射影A'，作点B在直线m上的射影B'，则向量A'B'叫做AB在直线m上或在向量e方向上的正射影，简称射影。
向量A'B'的模∣A'B'∣=∣AB∣·∣cos〈a，e〉∣=∣a·e∣。
正射影像的数量又称正投影。
直线
定义1：自点P向直线a引垂线所得到的垂足Q叫做点P在直线a上的射影。
平面中，过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，其垂足唯一，故点在直线上的射影唯一，故定义合理。
平面
定义2：自点P向平面α引垂线所得到的垂足Q叫做点P在平面α上的射影。
空间中，过一点（平面上或平面外）有且只有一条直线与已知平面垂直，其垂足唯一，故点在平面上的射影唯一，定义合理。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
图形
定义3：如果图形F上的所有点在一平面上的射影构成的图形F' ，则 F' 叫做图形F在这个平面上的射影。
由定义1与定义2的说明可知，图形在平面上的射影是唯一的。
特别地，直线在平面上的射影的情况：
情况1：直线平行于平面
任取直线上两点，分别做平面垂线，连接平面内两个垂足，连成的直线就是直线在平面上的射影 。
情况2：直线与平面斜交
任取直线上平面外一点，做平面垂线，连接垂足和斜足所得到的直线，就是直线在平面上的射影。
情况3：直线与平面垂直
此时直线上的点在平面上的射影都是同一点——垂足，故垂足就是直线在平面上的射影。
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