射影微分几何学

微分几何的一个分支

射影微分几何（projective differential geometry）是微分几何的一个分支，研究几何图形关于空间射影变换不变的微分几何性质．例如曲面的共轭网、渐近方向都是研究的对象。两个参数曲线族的叠合理论是射影微分几何的主要内容。在这一理论中研究焦曲面和可展曲面、焦点等。

简介

射影微分几何学(projective differential geometry)从属于射影变换群。其思想来源于C.F.克莱因1872年的著名演说“埃朗根纲领”，在那里将几何学归结为可逆变换群的几何不变量理论加以分类。研究的对象主要是曲线、曲面、共轭网等在射影变换群下的不变量、协变图形及其性质。

研究历程

19世纪末，法国数学家达布在《曲面通论教程》(1887—1896) 和《正交系与曲线坐标》(1898)中系统介绍了近百年来曲线和曲面微分几何学方面的成就，其中蕴含了射影微分几何学的萌芽。同时代的数学家阿尔方也对射影微分几何做过系统研究。1906年德国—美国数学家维尔钦斯基发表论著《曲线和直纹曲面的射影微分几何》，将曲线的射影微分几何理论推广到曲面上，成为现代射影微分几何的创始人之一。其后意大利数学家富比尼用一种射影不变的方法获得“富比尼规范坐标”，详尽阐述了系统研究曲线和曲面的过程。他与捷克数学家切赫合著的《射影微分几何》(2卷，1926—1927)与《曲面射影微分几何引论》(1931)已成为该学科的经典著作。

1937年法国数学家É.嘉当出版《射影联络空间理论教程》，创立新的活动标架法，重新建立起射影曲面论，振兴了微分几何学。他引入一般纤维丛理论，构造了仿射、射影及保形的广义联络空间，他的外形法为现代高维射影空间共轭网理论提供了依据。此外，意大利数学家邦皮亚尼和中国数学家苏步青都对射影微分几何做过系统的研究工作。苏步青从20世纪30年代末开创并发展起结构式射影微分几何，用几何作图法建立协变的构图和不变量，特别是用平面曲线在某种奇异点的不变量以表达其他几何不变量，这是一项具有代表性的显著成果。他的有关著作有《射影曲线概论》(1954)、《射影曲面概论》(1964)、《射影共轭网概论》(1978)等。

三种研究方法

射影微分几何是从属于射影变换群的微分几何，在达布的著名的曲面论中已含有它的萌芽，它主要是在20世纪初期按照克莱因的思想展开的，到20世纪40年代趋于完善。主要研究对象是曲线、曲面和共轭网等在射影变换群下的不变量、协变图形及其性质。

射影微分几何的研究方法大致有下列三种：

第一种是以富比尼(G.Fubini)为首的意大利学派的方法。以曲面论为例，设是三维射影空间中齐次坐标，是曲面S的参数表示，用一种射影不变的方法确定的比例因子，得到富比尼规范坐标，构造二次和三次形式：

式中和普通曲面论中第二基本形式只相差一个因子，于是定义了曲面的两族渐近曲线，和满足配极关系，定义曲面的三族达布曲线，这两个基本形式的系数满足一系列关系式，即曲面的基本方程，同普通曲面论一样，可导出射影曲面论的基本定理。

第二种是嘉当(E.Cartan)的活动标架法。嘉当用活动标架法重建射影曲面论，问题归结为普法夫方程组，可积条件即嘉当结构方程，从而导出许多结果，近年来，用嘉当方法发展起来高维射影空间共轭网理论。

第三种是以苏步青为首的中国学者开创和发展的结构式射影微分几何方法，主要是用几何作图法来建立射影协变的构图和不变量。例如用平面曲线在其某种奇点的不变量来表达其他的几何不变量。

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