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小范畴

常用范畴

小范畴是一种重要的常用范畴。一个范畴的全体对象一般地只成类而不是集合，当其对象类是一个集合时就称此范畴为小范畴。例如，R为实数集，将实数作为对象，当a≤b时，规定Hom(a,b)=φab；当a≥b时，规定Hom(a,b)=∅，即得一小范畴，更一般地，任何有序集(甚至拟序集)按其序仿此都可得到一个小范畴。

定义
所有对象构成集合的范畴为小范畴。
范畴概念的发展历程
范畴是从数学的各个领域中概括出来的一个高度抽象的数学系统。对范畴的系统研究起始于S.Eilenberg和S.MacLane在代数拓扑学中的工作，他们在1945年提出范畴、函子和自然变换等基本概念，其后，在1958年，D.Ken明确地定义并研究了伴随函子和一般极限理论，在20世纪60、70年代，F.w.Iawvere将范畴方法论引入数学基础领域，并与M.Tierney等建立了现代Topos理论，极大地推进了范畴理论的研究与应用。
这种理论在提出之后就普遍受到重视而迅速发展起来，并且被应用到数学和理论计算机科学的许多分支中，在数学和理论计算机科学中，范畴理论的概念和方法对于解释和阐述抽象慨念，确定学科研究框架和建立不同分支之间的关联等许多方面起着基本的重要作用。
基本知识
定义1 一个范畴C由下列内容组成：
(1) 一个对象类 。 的元称为C中的对象，通常用 等表示范畴的对象。
(2) 一个态射类 。 的元称为C中的态射，对于C中对象的每个有序偶 ，对应有惟一的一个集 ，简记作 ， 中的元称为C中以A为沦域，以B为余论域的态射。
若 ，则记作 或 有时也用 分别表示 的论域A、余论域B。
(3) 对于C中对象的每个有序三元组对应一个称为合成（或复合）的映射
称为和的合成（或复合）。
要求C中的对象和态射满足下列公理：
(1)若则
(2)若 则
(3) 使得有，称为A上的恒同态射。
若范畴C的对象类是集，则称C为小范畴。
相关知识
命题1 若A是范畴C中的对象，则A上的恒同态射是惟一的。
证明： 设都是A上的恒同态射，则由恒同态射的定义，有，这表明A上的恒同态射是惟一的。
定义2设C与D都是范畴，若
(1)ob(D)是ob(C)的子类：
(2)对于D中的任意对象A和B，有并且D中态射的合成以及每一对象上的恒同态射都与C中相同，则称D是C的子范畴。
若范畴D是范畴C的子范畴，并且对于D中的任意对象A和B有则称D是C的满子范畴。
定义3设C是范畴，则可构造范畴如下：其对象类；对于中的任意对象A和B，态射集并且对于任意和与在中的合成等于与在C中的合成．范畴称为范畴C的对偶范畴。
对偶范畴的一个重要作用在于它提供了对偶原则。
举例分析
例1 (1)Set:集与映射的范畴，即ob(Set)是全体集构成的类，对于X，Y∈ob(Set)，Hom(X，Y)是所有映射构成的集，并且Set中态射的合成就是映射的合成。
(2)Sp：拓扑空间与连续映射的范畴。
(3) KHausSp：紧空间与连续映射的范畴。
(4)Grp：群与同态的范畴。
(5)O：空范畴。
(6) 设X是集，则可以如下构造一个小范畴，其对象类是集X，并且仅有的态射是恒同映射，称此范畴为离散（小）范畴。自然，该范畴可以与集等同看待。
例2 集与单射（或满射或双射）的范畴是范畴Set的子范畴，但不是满子范畴，有限集与映射的范畴是范畴Set的满子范畴，范畴KHausSp是范畴Sp的满子范畴。
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