蒲丰投针问题

计算圆周率的方法

18世纪，蒲丰提出以下问题：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板（如概述图），随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。并以此概率，布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法。这就是蒲丰投针问题（又译“布丰投针问题”）。

投针步骤

法国数学家布丰（1707-1788）最早设计了投针试验。

这一方法的步骤是：

1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。

2）取一根长度为l（l≤a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。

3）计算针与直线相交的概率．

18世纪，法国数学家布丰提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l（l≤a）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。”

布丰本人证明了，这个概率是：

（其中π为圆周率）

由于它与π有关，于是人们想到利用投针试验来估计圆周率的值。

布丰惊奇地发现：有利的扔出与不利的扔出两者次数的比，是一个包含π的表示式．如果针的长度等于a/2，那么扔出的概率为1/π．扔的次数越多，由此能求出越为精确的π的值。

实验数据

下面是利用这个公式，用概率的方法得到圆周率的近似值的一些资料。

公元1901年，意大利数学家拉兹瑞尼宣称进行了多次的投针试验，每次投针数为3408次，平均相交数为1808次，给出π的值为3.1415929——准确到小数后6位。不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L·巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！

布丰投针实验是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。

证明

证明一：找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，如果圆圈扔下的次数为n次，那么相交的交点总数必为2n。设想把圆圈拉直，变成一条长为πd的铁丝。显然，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈复杂些，可能有4个交点，3个交点，2个交点，1个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd，根据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数期望也是一样的。这就是说，当长为πd的铁丝扔下n次时，与平行线相交的交点总数应大致为2n。

转而讨论铁丝长为l的情形。当投掷次数n增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的最大的交点总数m应当与长度l成正比，因而有：m=kl，式中k是比例系数。

为了求出k来，注意到l=πd时的特殊情形，有m=2n。于是求得。

代入前式就有：，将此结论推广到l=a/2，那么最多也只有一个交点，m与n的比值是针与直线相交的概率。但此证明较不严谨，例如圆和直线期望相等，铁丝与平行线的交点成正比。接下来用概率论和微积分提供严谨的证明。

证明二：由于向桌面投针是随机的，所以用二维随机变量（X,Y）来确定它在桌上的具体位置。设X表示针的中点到平行线的距离，Y表示针与平行线的夹角，如果时，针与直线相交。

并且X在服从均匀分布，Y在服从均匀分布，XY相互独立，由此可以写出（X，Y）的概率密度函数

因此所求概率

蒙特卡罗方法

像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。当由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难。有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用。在这种情况下，可以考虑采用 Monte Carlo 方法，蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。

利用钝角三角形的边长计算圆周率

此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关，这个概率为（π-2）/4，证明如下：

设这三个正数为x，y，z，不妨设x≤y≤z，对于每一个确定的z，则必须满足x+y>z，x^2+y^2﹤z^2，容易证明这两个式子即为以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的充要条件，用线性规划可知满足题设的可行域为直线x+y=z与圆x^2+y^2=z^2；围成的弓形，总的可行域为一个边长为z的正方形，则可以围成一个钝角三角形的概率P=S弓形/S正方形=（πz^2/4-z^2/2）/z^2=（π-2）/4.因为对于每一个z，这个概率都为（π-2）/4，因此对于任意的正数x，y，z，有P=（π-2）/4，命题得证。

为了估算π的值，我们需要通过实验来估计它的概率，这一过程可交由计算机编程来实现，事实上x+y>z，x^2+y^2﹤z^2等价于（x+y-z）（x^2+y^2-z^2）﹤0，因此只需检验这一个式子是否成立即可。若进行了m次随机试验，有n次满足该式，当m足够大时，n/m趋近于（π-2）/4，令n/m=（π-2）/4，解得π=4n/m+2，即可估计出π值。

值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。

计算机模拟

Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛，其历史起源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π 的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量．然后通过模拟一统计试验，即多次随机抽样试验（确定 m和 n），统计出某事件发生的百分比。只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义。利用建立的概率模型，求出要估计的参数。蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支。

MATLAB语言编程实现：

l=1;

n=1000;

d=2;

m=0;

for k=l:n

x=unifrnd(0,d/2);

p=unifrnd(0,pi);

if x<0.5*sin(p)

m=m+1;

else

end

p=m/n

pi_m=1/p

运行，即得结果。

c++语言编程实现：

#include

using namespace std;

int main()

{

longi,in,N=1000000;

doublex,y,pi;

srand(time(NULL));

for(i=0,in=0;i

{

x=2.0*rand()/RAND_MAX-1;

y=2.0*rand()/RAND_MAX-1;

if((x*x+y*y)<=1)

in++;

}

pi=4.0*in/N;

cout<

getch();

return 1;

}

蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及科学研究中的理论问题．例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问题。

任意曲边梯形面积的近似计水塘的面积．应该怎样做呢？测量方法如下：假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中。如图1所示：随机地向这块农田扔石头使得它们都落在农田内。被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被“溅上水的”石头量占总的石头量的百分比。试想如何利用这估计的百分比去近似计算该水塘面积？

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