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幂指函数

数学概念

幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都含有自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。

定义
幂指函数指数和底数都是变量的函数，形如 是数集）的函数称为幂指函数，其中 u,v 是 E 上的函数。
当不给出 u(x)与 v(x) 的具体形式时，总要求 。因此，幂指函数可改写成由 与 复合而成的函数 f(g(x))，从而当 u,v 连续时它连续,u,v 可微时它也可微。
幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义幂指函数。
具体例子
最简单的幂指函数就是y=xx。说简单，其实并不简单，因为当你真正深入研究这种函数时，就会发现，在x<0时，函数图象存在“黑洞”——无数个间断点，如右图所示(用虚线表示)。
在x>0时，函数曲线是连续的，并且在x=1/e处取得最小值，约为0.6922，在区间(0，1/e]上单调递减，而在区间[1/e，+∞)上单调递增，并过(1,1)点。
此外，从函数y=xx的图象可以清楚看出，0的0次方是不存在的。这就是在初等代数中明文规定“任意非零实数的零次幂都等于1，零的任意非零非负次幂都等于零”的真正原因。
函数极限
本段中所有 的记号，表示的是各种可能的趋向，即 *可以是a、a-0、a+0 、∞ 、-∞ 或+∞ 。
一般方法
利用恒等变形（即换底变形） 及复合函数 求极限法则 ，有
待定型
是两个函数乘积的极限，我们知道当且仅当 和 中有一个等于0，另一个为 时，极限 才是待定型。
所以幂指函数极限 仅有三种待定型： 型、 型、 型。
肯定型
幂指函数的极限 除了上述三种待定型外没有第四种待定型了。
若 、 ，因为规定l了 ，所以必有 ，则
（1） ，（i） ， ；（ii） ， ；
（2） ， ， ；
（3） ，（i） 为 ， ；（ii） 为为 ， ；
（4） ，（i） 为 ， ；（ii） 为为 ， ；
（5） 为+ ，（i） 或 ， ；（ii） 或 ， 。
典例分析
（1）求 ，
解 这个极限式“ 型”待定型，先求 ，所以
（2）求 ，
解这个极限式是“ 型”待定型，先求 ，其中
利用等价无穷小关系公式 可作等价无穷小代换 ，即可得
所以 。
（3）求
解 这个极限式是“ 型”待定型，先求 待定型 ，根据洛必达法则可得
所以 。
注 本题也可以等价无穷大替代，或经过放大缩小 后再用夹逼准则计算。
（4）求 。
解这个极限式是“ 型”待定型，先计算 ，由于 ，可知 是 时的无穷小量，利用等价无穷小关系 ，可得
所以 。
注 （1）这里“ 型”待定型中不能先把“底的极限1”先算出来，错成 。
（2）解这种问题时除了使用洛必达法则外，经常会用到等价无穷小替代及换元方法。
求导方法
下面给出一般幂指函数的求导方法。为书写方便，把f(x)和g(x)分别用f和g代替，即
指数求导法
由于幂指函数定义中f(x)>0，因此可以利用对数的性质将函数改写。 ，再对指数函数进行求导。
对数求导法
这种方法是在两边取对数，再利用隐函数的求导法则求出y‘。
多元复合函数求导法
根据一元与多元函数复合的求导法则， 的导数为
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