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序关系

偏序关系

序关系（ordering relation）也叫做“偏序关系”、“弱偏序关系”或“半序关系”是集合元素间的一种二元关系。设一非空集合S，其元素之间定义了一种二元关系→，若R满足：1.不可逆性：对任意a,b∈S，若有a→b，则没有b→a。2.传递性：对任意a,b,c∈S，若有a→b，b→c，则有a→c。3.有自反性：对任意a∈S，都有a→a。则→称为S上的一个偏序或偏序关系。

简介
偏序关系，亦称序关系、弱偏序关系、半序关系，是一种重要的二元关系。指集合A有自反性、反对称性和传递性的二元关系R，A称为偏序集。偏序关系常用记号≤表示（仍读作小于或等于）。a≤b意即aRb。偏序关系可用符号表示为：R是A的偏序关系。。
定义1，设P是集合，P上的二元关系“≤”满足以下三个条件，则称“≤”是P上的偏序关系（或部分序关系）：
（1）自反性：a≤a，∀a∈P；
（2）反对称性：∀a，b∈P，若a≤b且b≤a，则a=b；
（3）传递性：∀a，b，c∈P，若a≤b且b≤c，则a≤c；
特点
偏序关系有下列特点：
1、对角集；
2、≤ 的矩阵(rij)λ的主对角线上的元素全是1；当 i ≠ j 时，rij·rji = 0，当 rij = rjk = 1时，rik=1；
3、≤ 的箭头图上每一点有一箭头从自己出发而指向自己。如有箭头从a指向b，从b指向c，就有箭头从a指向c，任何两点间无双箭头。
偏序关系的逆关系≥一定是偏序关系，偏序关系一定是拟序关系。1880年，皮尔斯（Perice，C.S.）首先系统地讨论了偏序关系，而关于偏序的术语是由豪斯多夫（Hausdorff，F.）从1914年引进的。
拟序关系
也叫做伪序关系或前序关系，一种重要的二元关系。指集合A上的自反的与传递的二元关系R，A称为拟序集，即关系是拟序关系。。
拟序关系有下列特点：
1、对角集，且当∈R，∈R时，∈R。
2、R的矩阵(rij)λ的主对角线上的元素全是1，且当 rij= rjk= 1时，rik=1；
3、R的箭头图上，每个元素有一个从自己出发又指向自身的箭头，且在有a到b的箭头，b到c的箭头时，就有a到c的箭头，如右图1的关系箭头表示的是集A={a,b,c,d,e}上的一个拟序。
拟序关系的逆关系一定是拟序的，反对称的拟序关系是偏序关系，但拟序关系可以不是偏序关系。例如，图中表示的拟序就不是偏序，因为cRd且dRc，但c≠d。
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