开普勒定律

描述受径向对称力的低速宏观运动的三条定律

开普勒定律（英语：Kepler'slaw）是由德国天文学家兼数学家约翰尼斯·开普勒所发现的、关于行星运动的定律，由三条子定律所组成。开普勒于1609年在他出版的《新天文学》科学杂志上发表了关于行星运动的两条定律，又于1618年，发现了第三条定律。这些定律用椭圆轨道取代了尼古拉·哥白尼日心说中的圆形轨道和本轮，并解释了行星速度的变化情况，三条子定律大致为：

开普勒第一定律

开普勒第一定律的内容

内容：行星的轨道都是一个以恒星为焦点之一的椭圆。

椭圆具有两个焦点，在太阳系中，太阳就位于行星椭圆轨道的其中一个焦点上。以太阳为中心的极坐标系统用于描述行星相对于太阳的运动关系，在数学上，椭圆可以用公式表示：

其中是半通径，是椭圆的离心率，是行星到太阳的距离（日心距），是以太阳为观察点，从近日点开始测量的行星当前位置的角度。

对于椭圆，；在极限情况下，，轨道是一个以太阳为中心的圆（即偏心率为零），而当时，行星位于远日点（冬至点），日心距达到最小值：

当时，行星位于春分点或秋分点，此时日心距为。

当时，行星位于远日点（夏至点），此时日心距达到最大值，

半长轴是和的算数平均数，

半短轴是和的几何平均数，

半通径是和的调和平均数，

离心率是和的变异系数，

椭圆的面积为；特殊情形下，时，椭圆变为正圆，有：

开普勒第一定律的数学证明

设定，则角速度为：

对时间微分和对角度微分有如下关系：

根据上述关系，径向距离对时间的导数为：

再求一次导数：

代入径向运动方程，有：

将此方程除以，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：

为了解这个微分方程，先列出一个特解：

再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程：

其解为，这里与是常数。

合并特解和与齐次方程解，可以得到通解：

选择坐标轴，让，代回

其中，是离心率。这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。假若，则所描述的是椭圆轨道，于是证明了开普勒第一定律。

开普勒第二定律

开普勒第二定律的内容

内容：连接行星和太阳的线段在相等时间间隔内扫过的面积相等。

行星在椭圆轨道上的轨道半径和角速度会变化：当行星更接近太阳时，运行得更快；当远离太阳时，运行得更慢。值得注意的是，原本开普勒是通过一些仅近似正确或完全错误的假设，得出了这个正确的定律，他认为：

1.“行星被来自太阳的力推动绕太阳运行”，这个错误的假设来源于亚里士多德物理学的错误观点，即物体需要被推动才能维持运动；

2.“来自太阳的推动力与距离成反比，而引力在三维空间中传播会浪费”，因为行星位于一个平面上，因此开普勒假设力与距离成反比，而不是正确的反平方定律；

3.“速度与距太阳的距离成反比”，因为开普勒认为力与速度成正比，所以根据前两个陈述以及亚里士多德物理学的错误观点，得到了这个结论；

4.“由于速度与时间成反比，距太阳的距离将与覆盖轨道上一小段所需的时间成正比”，事实上对于椭圆轨道，这种观点只能近似成立；

5.“扫过的面积与总时间成正比”，这在椭圆轨道中也是近似正确的；

6. “行星的轨道是圆形的”，第二定律是在第一定律之前提出的，因此互相矛盾。

尽管如此，开普勒得到的第二定律竟然是完全正确的，后人分析认为它在逻辑上等价于角动量守恒，对于任何受到径向对称力的物体这都成立。

开普勒第二定律的数学证明

通过以上历史总结和推论，可以由向量的叉积的性质，给出短时间内扫过的微小三角面积，对于轨道上的一小段有：

因此：

最终的表达式与总角动量成正比，由此，开普勒的等面积定律对于任何角动量守恒的系统都适用。而太阳对行星的引力属于径向力，任何径向力都不会对行星的运动产生转矩，所以角动量将守恒。

开普勒第二定律的椭圆参数化数学证明表示为：

在短时间内，行星扫过一个底边为，高为的小三角形，面积为：

因此有恒定的面积速度为：

椭圆轨道所包围的面积为，因此周期满足：

行星绕太阳的平均运动率为：

满足角速度与时间的关系：

因此面积速度在椭圆参数化下的形式为一个常数，即面积速度恒常：

根据等面积速度，图中A1和A2面积相等。

开普勒第三定律

开普勒第三定律的内容

内容：对于绕同一恒星运行的所有天体，其轨道周期的平方与其轨道半长轴的立方之比都是相同的。

开普勒第三定律在1618年提出，比前两个定律晚九年，它揭示了日心距和轨道周期之间的关系。开普勒认为行星的运动是一种“来自天空的音乐”，因此他曾努力尝试根据精确的定律，来确定正确的“音乐符号”表达，最终提出了第三定律，因此该定律又称为“和谐定律”。

开普勒第三定律的原始形式中，并不指代椭圆轨道的半长轴，而是“平均距离”，因此仅能在偏心率接近零的行星上近似适用。

利用牛顿万有引力定律（1687年发表），在圆形轨道的情况下，通过将向心力等于引力，可以推导这一关系：

将角速度和轨道周期重新排列得到：

可以对一般的椭圆轨道（而非圆形）以及绕质心（而非仅绕大质量物体）进行更详细的推导。这导致将圆形半径替换为椭圆相对运动的半长轴，并将大质量替换为。然而由于行星质量远小于太阳，这一修正通常被忽略，完整的对应公式为：

其中是太阳的质量，是行星的质量，是万有引力常数，是行星轨道周期，是轨道半长轴，AU是天文单位，即地球到太阳的平均距离。

下表列出了开普勒（上）根据经验推导出定律所使用的数据，以及现代计算（下）所给出的可目视的五大行星数据对比：

开普勒第三定律的数学证明

但仅从牛顿定律反推开普勒第三定律是还不够的，因为牛顿定律的提出是在1687年，是一种更加高级的定律总结和表达，因此需要再从运动学的本质上尝试推导这一结果：

若使用和分别为行星运动的近日点和远日点，以和分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见和的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为：

根据开普勒第二定律，应有，因此有：

行星运动的总机械能等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为:

根据机械能守恒，应有，故：

于是根据和机械能守恒有：

再结合面积速度得到：

两边平方得到：

适用范围

开普勒定律适用于宇宙中一切绕心的大型天体运动，在宏观低速天体运动领域具有普遍意义。而对于高速的天体运动，开普勒定律提供了其回归低速状态的方程。因此，开普勒定律及其引出的推论，不仅适用绕太阳运转的所有行星，也适用于以行星为中心的卫星，还适用于单颗行星或卫星沿椭圆轨道运行的情况。

由于开普勒起初是在亚里士多德的物理观点下提出定律的，后面又经过牛顿经典力学观点的修正，因此不会满足相对论情况下的运动规律，仅适用于宏观低速运动的天体。例如此后原子物理中错误使用的原子行星模型，将电子看作围绕原子核运动的“天体”，这种微观情况下开普勒定律实际上是失效的，需要得到量子力学的修正。

此外，开普勒定律对行星运动的描述也非完全准确的，例如曾经困扰天文学界很长时间的“水星轨道进动”问题，就不被开普勒定律及其他经典力学内容所解决，最后被广义相对论所完成。另外对于小型天体如矮行星、彗星和小行星等，它们的轨道有时会因为大型天体的引力扰动而显得不服从开普勒定律。

发展简史

历史背景

16世纪，天文学家哥白尼以其大胆的洞察力提出了全新的宇宙观“日心说”，认为太阳是宇宙的中心，地球和其他行星一样围绕太阳公转，从而引发了一场关于宇宙的大讨论和探索。但直到半个世纪后，德国数学家开普勒利用丹麦天文学家第谷·布拉赫提供的20多年积累的高精度观测数据，才绘制出了第一张精确的太阳系地图，巩固了哥白尼的日心说。然而，在开普勒有生之年，他的成就并没有得到应有的承认。

1601年，第谷逝世后，开普勒接替了他的工作，开始编制鲁道夫星表，同时更加注重完善哥白尼的日心说。他发现第谷的观测数据与哥白尼体系和托勒密体系均不相符，因而决心寻找这一不一致的原因，并探究行星运行的真实轨道。起初，开普勒沿用了哥白尼的匀速圆周运动理论，尤其是对观测差异最为突出的火星轨道进行研究。他运用传统的匀速圆周运动加偏心圆的方法进行计算，但均以失败告终。

经过长达4年、近70次各种行星轨道形状的计算设计，开普勒发现第谷的观测数据与计算存在8'的误差，并意识到哥白尼体系的匀速圆周运动与偏心圆的轨道模式无法解释火星的实际运动轨迹。于是，他勇敢地抛弃了统治人类思想长达2000年的“匀速圆周运动”偏见，尝试用其他几何曲线来表示火星的轨道形状。他认为行星轨道的焦点应该位于产生引力的太阳，并进一步推断火星的线速度并非匀速，靠近太阳时较快，远离太阳时较慢，由此得出结论：太阳至火星的直径在一天内扫过的面积是相等的。这一发现构成了开普勒第二定律的基础，即“等面积定律”。

开普勒随后将这一结论推广至其他行星，发现同样与观测数据吻合。他首先得出了行星运行的等面积定律，接着发现火星轨道并非圆形，而是一个焦点位于太阳的椭圆。他将这一结论应用于其他行星，结果同样适用。由此，开普勒得出了行星运行的椭圆轨道定律。

尽管取得了如此重大的成就，开普勒并不满足。他渴望找到一种能够统一所有行星的总体模式，将各个行星联系在一起。他坚信存在一种简单的法则，能够将所有行星的运动和谐地统一起来。在这种信念的驱动下，尽管个人生活中饱受不幸，并且在极少有人理解和支持的情况下，他经过九年的反复计算和假设，终于在1618年找到了隐藏在大量观测数据背后的数的和谐性：行星公转周期的平方与它们到太阳平均距离的立方成正比——这就是开普勒第三定律，也称为“周期定律”。开普勒定律极大地挑战了亚里士多德和托勒密的理论。他主张地球是不断运动的，行星轨道不是正圆，而是椭圆，行星公转的速度也不是恒定的。开普勒的三大定律为牛顿提供了至关重要的理论基础，牛顿通过他的第二定律和万有引力定律在数学上严格证明了开普勒定律的正确性，并揭示了其背后的物理意义。牛顿认识到，开普勒的第二定律并非反平方引力定律的特例，而是源于引力作用的径向特性，而第一和第三定律则依赖于引力的反平方形式。值得注意的是，开普勒在有生之年并未完全理解其发现的深刻意义，直到牛顿将其与万有引力定律联系起来，才使这一伟大发现得到了普遍的认可。

历史人物

开普勒（Johannes Kepler，1571-1630），德国著名天文学家，1571年出生于德国一个小市民家庭，自幼遭受病痛困扰。17岁进入蒂宾根大学学习神学，获硕士学位后因父亲负债中途退学。

1600年，开普勒给丹麦天文学家第谷写信并得到邀请成为助手。在第谷去世后，开普勒继承了他的重要观测数据，尤其是关于火星运动的资料，并最终发现了行星沿椭圆轨道运行的规律，提出了行星运动三定律（即开普勒定律），为牛顿的万有引力定律奠定了基础。

开普勒编制了精确的《鲁道夫星表》，列出1005颗恒星的位置，影响延续至18世纪。他的主要著作包括《宇宙的神秘》《光学》《宇宙和谐论》等，在《宇宙和谐论》中，他用7个椭圆描述了天体运动体系，还在《彗星论》中首次提出了太阳辐射压力的预言。为纪念开普勒的贡献，1134号小行星被命名为“开普勒小行星”。2009年升空的“开普勒太空望远镜”也是为纪念他，主要用于系外行星的探测。

历史影响

开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念，从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。

开普勒定律还彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见，即天与地的本质差别，获得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。

开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的（即开普勒所说的“和谐”）系统。这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。而在哥白尼体系中，太阳虽然居于宇宙“中心”，却并不扮演这个角色，因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的。

由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现，在科学史上是不少的。但像行星运动定律的发现那样，从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算，道路如此艰难，成果如此辉煌的科学合作，则是罕见的——这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！

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