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弗雷内公式

向量微积分中的公式

弗雷内公式(Frenet formula)，亦称弗勒内-塞雷公式，是向量微积分中，用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动的数学公式。描述了曲线的切向，法向，副法方向之间的关系。

定义
单位切向量 T，单位法向量 N，单位副法向量 B，被称作 弗勒内标架，他们的具体定义如下：
弗勒内公式如下：
其中d/ds 是对弧长的微分， κ 为曲线的曲率，τ 为曲线的挠率。弗勒内公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。
发展历史
这一公式由法国数学家让·弗雷德里克·弗勒内（于1847年的博士论文中）和约瑟夫·阿尔弗雷德·塞雷（于1851年）分别提出。
应用
弗勒内公式有时也被称作弗勒内定理，并且可以写做矩阵的形式：
其中的矩阵是反对称矩阵。
对弧长s求导，可以看成是对切方向的协变导数。
影响意义
弗雷内公式(Frenet formula)是经典曲线论的基本公式，也是弗雷内标架的微分公式。在光滑曲线C:r=r(s)的每一点都有弗雷内标架.曲线的弯曲性质反映为邻近点上弗雷内标架之间的相对位置关系.为此要考虑T(s),N(s),B(s)关于弧长:的导向量T(s),1V(s),B(s)，而它们可由标架向量T,N,B线性表示，即弗雷内公式。
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