恒等映射

数学名词

对任意集合A，如果映射f:A→A定义为f(a)=a，即规定A中每个元素a与自身对应，则称f为A上的恒等映射(identical [identity] mapping)。

基本介绍

定义

定义1 恒等映射亦称恒等函数，是一种重要的映射，对任何元素，象与原象相同的映射。对于映射，若它的定义域A和值域B相等，并对所有的均有时，则称为恒等映射，常记为或等。

定义2 设E为集合，从E到其自身中使任一元素与自己相对应的映射叫做E的恒等映射，记为，E的恒等映射的图形是的对角线。

相关介绍

映射(变换)是数学中一个很重要的基本概念，从广义上讲，可以认为数学中的任何—种运算都属于一种映射。在数学的不同分支里，就是研究某个特定领域中的特定映射，或者从不同的方面去研究映射的不同性质。如傅里叶变换、拉普拉斯变换(时间域到频率域)，实变函数(实数集到实数集)，复变函数(复数集到复数集，复平面到复平面)，导函数(可导函数集到函数集)，定积分(可积函数集到实数集)，线性变换(如n维向量空间到n维向量空间)，梯度(标量场到矢量场)，散度(矢量场到标量场)和旋度(矢量场到矢量场)等等都是映射，但不一定都是一一映射．

在施行映射(变换)之后，若两个集合的某些性质相同，则称这些性质在该变换下是不变的。在变换下保持不变的量称为不变量。例如，在笛卡尔直角坐标系中，旋转变换

所确定的映射，其距离就是不变量，因为；在电磁场作洛伦兹变换时，有和，因此，和为电磁场在洛伦兹变换下的不变量。在电路和电机分析中，作线性变换(折算)时，常常要求保持复数功率为不变量，在不同的场合，保持某些不变量，是合理进行某种变换必须遵循的条件，也往往是进行某种变换之后检验结果是否正确的依据。

引用集合之间映射的概念，必须与集的代数运算或所谓结合法发生联系，才能成为有力的工具，对于集合A中的任意两个元素，若按照一定法则(常写成乘法)，可以与某集合中唯一确定的元素对应，则称这个法则是集A的一个代数运算，或称是A的一种结合法，若一个集具有适合某些法则的结合法(或代数运算)，就称其为代数系。如果的结合仍然是A中的元，则称A的这种结合法是闭合的(或称其是A的一种封闭的结合法)。譬如整数集Z是代数系，它的加法和乘法是两种闭合的结合法，近世代数就是一门研究某些基本代数系(群、环、域)关于结合法性质的理论学科。

恒等映射的性质

恒等映射有下列性质：

1.对映射，；

2.对映射，若存在映射，使得

则f是一一对应，且。

3.对任何集A，都存在惟一的恒等映射；

4.恒等映射是双射，且。

恒等变换

恒等变换(identical transformation)又称单位变换，指把集合S中的每个元素都变为其本身的变换，称为S的恒等变换。例如，在平面上，把点变为其本身的点变换是恒等变换。用式子来表示，可以写成。有限维向量空间上的恒等线性变换可以用单位矩阵来表示。恒等变换是变换群的单位元。

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