拓扑量子场论

物理学名词

拓扑量子场论（又称拓扑场论，简称TQFT）是一类计算拓扑不变量的量子场论。其共同特征是某些相关函数不依赖于背景时空流形的度量。

定义

公理1：一个D维空间Σ配有只取决于Σ的拓扑的希尔伯特空间V(Σ)。

公理2：两个D维空间Σ1与Σ2的不交并配有希尔伯特空间V(Σ1∪Σ2)=V(Σ1)⊗V(Σ2)。

公理3：设M为D+1维流形，且有D维边界Σ=∂M。则可给M配上V(Σ)中的一个特殊的矢量，即有Z(M)∈V(∂M)，且Z(M)只取决于M的拓扑。

公理4：设Σ*为定向相反的Σ，V*为V的对偶空间，则有V(Σ*)=V*(Σ)。

综述

在拓扑量子场论中，相关函数并不取决于时空的度量。这意味着理论对时空形状的改变不敏感：时空弯曲或收缩时，相关函数并不因此改变。因此，它们是拓扑不变量。

在粒子物理学中常用的、平坦的闵可夫斯基时空中，拓扑场论并不十分有趣。这是由于闵可夫斯基空间可以被收缩成一点，所以其中的TQFT只计算出平凡的拓扑不变量。因此，TQFT通常在黎曼曲面等弯曲的时空上研究。大多数已知的拓扑场论定义在5维的弯曲时空中。更高维度的拓扑场论似乎存在，但人们未能清楚理解这些理论。

量子引力被相信是背景独立的（在某种意义上），而TQFT恰好能提供背景独立的量子场论的例子。这一特性促进了现行的对此类模型的理论探索。

20世纪70年代，阿尔伯特·施瓦茨就研究过一种拓扑量子场论（阿贝尔的陈一西蒙斯规范理论）。80年代末，在迈克尔·阿蒂亚启发下，研究了三个拓扑量子场论：一个由超对称杨一米尔斯规范理论扭变得到，用以将唐纳森不变量和弗勒尔瞬子同调解释为量子物理对象；第二个是非阿贝尔的陈-西蒙斯规范理论，用以将琼斯多项式及其衍生物解释为量子物理对象；第三个由超对称Σ模型扭变得到，用以将格罗莫夫的赝全纯曲线和弗勒尔的拉格朗日同调解释为量子物理对象。1994年威滕应用弦论学家得到的强弱对偶结果将唐纳森不变量等价为更易计算的塞伯格-威滕不变量。进入21世纪，威滕等人又研究了具有更多超对称的杨-米尔斯场论的扭变，并将数学中的几何郎兰兹对偶解释为量子场论中的强弱对偶。威滕等人进一步发现，Σ模型、陈-西蒙斯场论、以及超对称杨-米尔斯场论之间有千丝万缕的联系，它们都可以包含在弦论或者M-理论中，在这个大框架之下，琼斯多项式的范畴化——霍万诺夫同调被解释为量子物理对象。

在凝聚体物理学中，拓扑量子场论是拓扑有序态的低能有效理论，例如分数量子霍尔态、弦网凝聚态及其他强关联液态自旋量子。

具体模型

已知的拓扑场论可分为两个大类：施瓦茨类TQFT与威滕类TQFT。后者有时被称为上同调场论。

施瓦茨类TQFT

在施瓦茨类TQFT中，系统的相关函数或配分函数可由度量独立的作用量泛函的路径积分计算出来。例如，在BF模型中，时空为二维流形M，可观察量由2-形式F、辅助标量B以及它们的导数所构造得到。作用量（决定了路径积分）为

时空度量在理论任何地方都没有出现，因此这个理论显然是拓扑不变的。第一个TQFT的例子于1977年由A. Schwarz给出，它的作用量泛函是

另一个较为著名的例子是陈–西蒙斯理论，可用于计算纽结不变量。一般而言配分函数取决于度量，但以上两例得证为度量独立。

威滕类TQFT

第一个威滕类TQFT的例子出现于威滕1988年的论文（Witten 1988a）中，即4维的拓扑杨–米尔斯理论。虽然其中的作用量泛函包含时空度量gαβ，但是在拓扑扭曲之后，理论变为度量独立。而系统应力-能量张量T对度量的独立性则取决于BRST-算子是否闭合。遵循着威滕的例子，人们在拓扑弦论中找到了大量其它的例子。

后续发展

拓扑量子场论对塞伯格-威滕规范场论、拓扑弦理论、纽结理论和量子理论的关联、和量子纽结不变量等有诸多应用。此外，它为数学和物理都提供了非常有趣的研究对象。最近，TQFT中的非局部算子成为重要的研究方向。如果弦理论被视作根本理论，那么非局部TQFT则是为局部弦理论提供一个简化计算的逼近的非物理的模型。

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