闵可夫斯基空间

相对论中的时空背景

闵可夫斯基空间是狭义相对论中由一个时间维和三个空间维组成的时空，它最早由俄裔德国数学家闵可夫斯基（H.Minkowski，1864~1909年）表述。他的平坦空间（即假设没有重力，曲率为零的空间）的概念以及表示为特殊距离量的几何学是与狭义相对论的要求相一致的。闵可夫斯基空间不同于牛顿力学的平坦空间。

简介

阿尔伯特·爱因斯坦在瑞士苏黎世联邦科技大学（德语：Eidgenössische Technische Hochschule，ETH；英语：Swiss Federal Institute of Technology）时期的数学老师赫尔曼·闵可夫斯基在爱因斯坦提出狭义相对论之后，于1907年将爱因斯坦与亨德里克·洛仑兹的理论结果重新表述成（3＋1）维的时空，其中光速在各个惯性参考系皆为定值，这样的时空即以其为名，称为闵可夫斯基时空，或称闵可夫斯基空间。

爱因斯坦一开始不认为这样的表述有何重要性，但当他1907年开始转往广义相对论发展时，发现闵可夫斯基时空可说是其所要发展的理论架构的基础，转而对这样的表述采取高的评价。

定义

设是实数域上的四维空间，若是一个非退化的对称型且其正惯性指数等于3，则称是一个闵可夫斯基空间。

在适当基下有如下矩阵：

上的正交变换即称为洛伦兹变换，中的迷向向量称为光向量，中适合的向量称为空间向量，而适合的向量称为时间向量。这些相关名词指出了闵可夫斯基空间的物理学渊源。

推导

我们从空间坐标变换说起。我们知道，平面解析几何中的坐标变换式是：

借助矩阵的形式，我们可以把上式写成：

这里的变换矩阵

是一个正交矩阵，因此这样的坐标变换能保证任意两点间距离不变。

从这里只要一步就可以跨进狭义相对论。我们把时间乘以一个因子，这里是具有速度量纲的一个常数，那么ict就有了长度的量纲（不过它的数值是虚的）。这个就作为与三维空间的三个坐标相并列的第四维度，并且规定在坐标变换（实际上就是从一个惯性系变换到另一个惯性系）时，变换矩阵必须是正交的。比如，我们常见的洛仑兹变换：

如果把、、依次记为、、，又记为，写成矩阵的形式就是：

上式中，，。这么一来，“时空统一”看起来是不是清楚多了？

在这样的正交变换之下，有一个叫做“四维间隔”的东西是守恒的。如果记间隔为，那么

这个“四维间隔”，也就是四维时空中两点（准确地说应该叫做“时空点”）间的“距离”。上式最右边的是空间上的距离，是时间上的距离。

与此同时，就成了四维时空中一个非常独特的速度。

假如：在某个惯性系S1看来，一个物体从A地匀速运动到B地，历时，穿越距离；而在另一惯性系S2中，这一物体从A地到B地，历时，穿越距离；那么在这两个惯性系中，“物体从A地到B地”所经历的“四维间隔”的平方分别是：

和

倘若在S1系中此物体速度为，那么=c，于是。则经过时空坐标的变换后必有即，也就是说这一物体在S2系中的速度也是。换句话说，只要时间以一个固定的常数（不管这是不是光速！）与空间相联系，那么以为速度的物体在一切惯性系中的速度都是。前提是。

性质

可以证明闵可夫斯基空间的下列性质：

（1）任意两个时间向量不可能相互正交；

（2）任意一个时间向量都不可能正交于一个光向量；

（3）两个光向量正交的充分必要条件是它们线性相关。

闵可夫斯基空间的认识

闵可夫斯基世界是存在于一个虚构的四维时空中。所谓四维时空，和四维空间有区别。最明显的区别是，四维时空中有一维是“类空间”，而四维空间的四个维都是空间。明确地讲，四维空间中的四个维，可以视为具有相同性质的，而四维时空的类空间维，和其他三维不具有相同性质。所谓性质相同，其实包含很多方面，不很容易一下都总结出来，但是可以举几个常见例子：

（1）例如：在任何一维空间中度量空间长度的方法都是一样的，这就是因为它们性质相同但我们很明显地知道，在类空间中度量“类空间长度”的方法，是和在其他三维空间中度量长度的方法完全不同的。闵氏空间中的类空间维，准确来说就是 ict这一维，从取值来说，这一维上面的坐标或长度的取值是 0 或者纯虚数，而其他三维空间中的坐标或长度取值一定都是实数。

（2）再比如：一个平面三角形在平直的四维空间中可以任意转动，而且无论怎么转，都能保持它作为三角形的标志性几何性质，且这些性质不随时间或者这个四维平直空间变化，但这个三角形在四维时空中的转动，一定只能是三维的，类空间这一维是不允许这个三角形介入的，如果强制这个三角形介入类空间一维，那么这个三角形就不是原来的三角形了，因为它的几何性质中包含了随时间改变的要素，这也会影响这个三角形在三维空间中的“剩余部分”的几何性质随之变化。

因此，四维时空中的“长度”（准确说应该叫做“间隔”），并不是四维空间的长度概念，“间隔”这个概念本身就表明了物体的空间性质与时间性质的相关性，所以相对论中的物体运动的时间坐标和空间坐标是互相影响的，牛顿理论就没有这个性质（牛顿理论的时间坐标不受空间坐标影响，只有空间坐标受时间坐标影响）。时空间隔不变性对应的是“相对性原理”。在牛顿理论的时空模型中，三维空间距离是参考系不变量，无论在哪个参考系下测量同一物体的长度得到的结果都是相同的，这是伽利略变换下的相对性原理的体现。相对论中，无论哪个参考系测量俩事件的四维时空间隔，也都得到相同的结果：四维时空间隔是不变量。

洛伦兹变换保证了“四维时空间隔”在参考系变换下拥有不变。洛伦兹变换是两个参考系之间的变换关系。通常两个参考系指的是运动速度不同的两个参考系，但在四维时空的角度来看，这两个参考系之间并不存在相对运动，而不过是两者各坐标轴都拥有一个相同的固定的偏转角度，所以也称洛伦兹变换是一种四维时空旋转变换。这种旋转并不是三维空间中的那种旋转，而是嵌入到时间维中一种“四维旋转”。表现在三维空间中就是有相对运动速度。四维时空间隔是一个标量，标量在坐标变换中肯定是不变的。

从数学角度来说，四维时空间隔不变，体现的是闵氏时空的一种性质，这种性质很类似欧氏空间的性质：几何不变性。而这种性质，往物理方面考虑，其实就是相对性原理的一种体现。闵氏时空其实不算是欧氏空间的直接推广，因为它的第四维（时间维）与另外三个维的性质是有很大区别的。不过在数学或者几何上，两者有很多的共同之处，比如对距离的定义等等。闵氏时空有一个类别名称叫做“伪欧氏空间”，这个“伪”字指出了它其实不是四维欧氏空间。四维间隔我们缺乏直观的体验，是因为我们（观测者）在观测的同时也在时间维中以固定的固有流逝速率“前进”，所以无法直接把握这个既包含空间距离也包含时间距离的思维间隔。

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