狭义相对论

保证物理规律的协变性

阿尔伯特·爱因斯坦在分析了以太假说的矛盾后，于1905年在《论动体的电动力学》中提出了两条基本原理：狭义相对性原理和光速不变原理，并据此建立了狭义相对论（Special Theory of Relativity）。

理论动机

早在1632年，伽利略就通过实验指出：相对于惯性系做匀速直线运动的任一惯性系，力学规律是相同的。这一观点在当时被广泛接受，被称为伽利略相对性原理。20世纪以前，物理学家的时空观是绝对时空观，反映不同惯性系之间时空坐标变换关系的公式是伽利略变换。伽利略相对性原理的数学表述自然是：在伽利略变换下，力学定律的形式不变。

对物理学家来说，伽利略相对性原理是不容质疑的，并且它是一个“管定律的定律”。凡是不满足伽利略相对性原理的力学定律都是需要修改的。

直到19世纪，电磁学迅速发展，电磁学规律可简单地概括为麦克斯韦方程组。出乎意料地是：麦克斯韦方程组在伽利略变换下不是协变的。

对当时的部分物理学家而言，麦克斯韦方程组违反了伽利略相对性原理，最明显的道路是：修改麦克斯韦方程组以得到一个满足伽利略协变性的电磁学定律。

对另一部分物理学家来说，麦克斯韦方程组同样是被很多实验证实的电磁学理论，也具有不可动摇的地位。一种方法是：牺牲伽利略相对性原理的普遍性，承认伽利略相对性原理只适用于力学规律而不能被推广到电磁学的物理范畴；坚持麦克斯韦方程组是正确的，只不过麦克斯韦方程组中的c是电磁波相对一个特殊惯性系（当时称为“以太”）的传播速度，麦克斯韦方程组也只在这一参考系下成立。因为“以太”是一个未经证实的猜测，这部分物理学家的首要任务是证实以太的存在，并证明电磁波相对以太参考系的传播速度为c。但是，对此进行的霍克实验、菲佐实验和迈克耳孙-莫雷实验（Michelson-Morley Experiment）对v/c的一阶效应和二阶效应的实验结果之间却相互矛盾，使物理学家难以自圆其说。

在那个时代，只有爱因斯坦另辟蹊径。首先，迈克耳孙-莫雷实验的零结果使他坚信：真空中的光速与观测者的速度无关，恒为c（提出光速不变原理）。这意味着麦克斯韦方程组在任何惯性参考系中都成立，无需修改；结合伽利略相对性原理，他猜测：任何物理规律（不管是电磁学规律还是力学规律）在惯性系下都是相同的（提出狭义相对性原理）。现在，麦克斯韦方程组不具有伽利略变换的协变性，这说明伽利略变换没有正确地反映惯性系之间的时空坐标变换关系。因此，需要修改的是绝对时空观和对应的伽利略变换。

理论内容

基本原理

狭义相对性原理：任何真实的物理规律在所有惯性系中应形式不变。

光速不变原理：任意一个惯性系中的观测者所测得的真空中的光速恒为c。

推论

时空观

由两条基本原理可严格地导出惯性系之间时空坐标变换的方程组，即洛伦兹变换。与伽利略变换不同：

（1）相对地面静止的S惯性系观测到的同时事件在相对地面匀速运动的S’系看来是不同时的，即同时的相对性。

（2）同一根尺子，相对尺匀速运动的观测者比相对尺静止的观测者测量的杆长要短，即尺缩效应。

（3）同一个钟，相对其匀速运动的观测者发现这个钟比相对其静止的情况下走得要慢，即钟慢效应。

（4）空间间隔和时间间隔是相对的（在惯性系变换下是改变的），但时空间隔（line element）在洛伦兹变换下是不变的（光速不变原理的直接要求）。

（5）S惯性系观测到的先后发生的两个事件在相对其匀速运动的S’系看来这两个事件的先后顺序可能是颠倒的。

（6）如果假定互为因果关系的两个事件在任何惯性系下都不可颠倒因果顺序，结合狭义相对论可知:任何信号的传播速度都不可能超过真空中的光速c。（5）可总结为：具有类空（spacelike）间隔的两个事件的时间顺序可以相互颠倒；具有类时（timelike）或类光（lightlike）间隔的两个事件的时间顺序不可颠倒。

在牛顿的绝对时空观中，时间与空间是绝对的，与观测者的运动状态无关，并且时间与空间是相互独立的。现在，狭义相对论否定了这个观点。时间与空间是相对的，在惯性系变换下，它们都可能改变；时间与空间是不可分割的整体，它们一起构成的时空间隔在惯性系变换下是不变的。

对新理论的指导

狭义相对论将伽利略相对性原理提升到了更广泛的范畴，物理学规律（不仅仅是力学规律）都应具有惯性系变换下的协变性。因此，判断一个物理学定律是否正确，第一道门槛就是具有协变性（covariance）。考虑到，物理学定律大多是描述一些物理量的等式或不等式关系。显然，对物理量按照其在惯性系变换下的变换规律进行分类（洛伦兹标量、洛伦兹矢量和洛伦兹张量）将方便判断物理学定律的协变性。同时，这也为构造新的物理学定律指明了方向——只有特定的标量（scalar）、矢量（vector）、张量（tensor）的组合所构成的物理量才可能参与到特定的方程中。

（1）相对论力学

牛顿力学不是相对论协变的，必须修改。

首先，引入事件的概念：事件用P(x,y,z,t)表示，即空间的一点和时间的一瞬。四维位置矢量表示为，时空度规表示为：

其次，研究对象是点粒子（particle），点粒子在时空中的历史轨迹是一系列事件（event）的集合，在四维时空中是一条曲线，称为该粒子的世界线（world line）。记录粒子所经历的时间需要一个标准钟（standard clock），钟的读数称为固有时（proper time）。一般地，物理上引入一系列与粒子保持相对静止的瞬时惯性系，在瞬时惯性系所测量的粒子的运动时间即为粒子的固有时。

最后，观测并记录点粒子的行为需要观者。一个观者只能对发生在自己世界线上的事件做直接观测，若要对全时空的任何事件进行观测，就需要处处设置观者。若这些观者的世界线处处彼此不相交并且能充满整个时空，就构成了一个参考系（reference frame）。在所有观者中，其世界线为类时测地线的观者称为惯性观者（inertial observer），一个惯性观者可借助自己的世界线建立一个惯性坐标系，惯性坐标系的t轴重合于自己的世界线，垂直于由彼此正交的x、y、z轴构成的三维空间。

现在，假设一个惯性观者观测到一个粒子，其由到，粒子经历的坐标时（coordinate time）为对应的固有时间为

对应的固有时为

该粒子的四维速度（4-velocity）定义为

该粒子的四维加速度（4-acceleration）定义为

粒子受到的四维力（4-force）定义为

以上，,,都是三维空间的概念，定义保持与牛顿力学相同；都是四维洛伦兹矢量，分别称为：四维力，四维速度，四维加速度。现在，注意到牛顿第二定律为：

该定律不是相对论协变的，现在将,等三维概念替换为，等四维物理量，得到一种协变的形式：

注意到：

比较空间和时间部分，得到：

即粒子的相对论运动方程，m是在粒子的瞬时惯性系测得的粒子质量，称为固有质量（proper mass）或静止质量。因为m在相对论力学中有特殊的含义，所以下面将一律采用表示固有质量。

若点粒子在运动中相对瞬时惯性系的质量不变（粒子不发生衰变），注意到以上空间部分的表达式可写为

m称为运动质量或相对论质量，称为相对论动量，是一个三维矢量。利用四维速度可构造一个四维洛伦兹动量，是其空间部分：

现在注意到以上时间部分的表述式

该式在牛顿力学（相对论低速近似）就是功能关系。

据此，称为相对论能量，即

该定义式称为相对论质能关系，它的物理含义是:

1.物质系统所具有的总能量与总质量成正比

2.物质系统能量的变化与质量的变化成正比

3.能量是一个相对量，其与相对论动量可构成一个四维动量，能量在惯性系变化下会改变

4.在粒子的瞬时局域惯性系，粒子静止，观测到的粒子能量最小，但不一定等于零；换言之，粒子具有静止能量（固有能量）。

现在定义一个物理量

将的定义式代入功能关系，有

该式在牛顿力学（相对论低速近似）就是动能定理。

据此，称为相对论动能。

（2）电动力学

电动力学的基础是麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式。

麦克斯韦方程组是：

在洛伦兹变换下，可以验证，该方程组天生是协变的，无需修改；但是，引入电磁场张量（一个洛伦兹张量）替换掉电场和磁场后可以更方便地看出其协变性

检查等式各项的洛伦兹指标，可知麦克斯韦方程组具有洛伦兹协变性。

带电粒子单位体元内（粒子的体元由粒子的瞬时惯性系测量，一般称为固有体元，粒子的电荷和固有体元都是洛伦兹标量）在外电磁场中受到的洛伦兹力密度为：

该式就是洛伦兹力公式的四维表示，显然是协变的。

我们只是将洛伦兹力公式和麦克斯韦方程组写成了张量方程式，并没有修改两者，这说明电动力学是天生洛伦兹协变的。这是很自然的事情，因为狭义相对论的两大基本原理建立在电磁理论符合相对性原理的前提上。一个惯性系的观测者仅测得电场而无磁场，相对其匀速运动的另一观测者却可能测得磁场的存在。狭义相对论解释了这一现象，电场和磁场是同一个统一客体-电磁场的不同侧面。

补充:

1. 关于麦克斯韦方程组的协变性

这需要两个假设：是洛伦兹四矢量以及是洛伦兹张量。

2. 关于和可构成一个洛伦兹四矢量

这是一个假设。

3.关于是一个洛伦兹张量

定义三维矢势和标势

假设和构成一个洛伦兹四矢量，那么

可见是一个洛伦兹张量，这基于一个假设：和构成一个洛伦兹四矢量。

实验检验

对狭义相对论两个基本原理的检验

相关的实验有:对光速各向同性的检验、由实验约束光子静止质量上限、检验光速与光源速度是否有关等。

时间膨胀的检验

相关高精细的实验有很多，如利用快速光学原子钟或利用穆斯保尔效应的高精度谱分辨率等检验时间膨胀；在可接受的误差范围内，实验结果与狭义相对论都是一致的。

检验横向多普勒效应

假设光源发射光信号的固有频率（在光源的静止惯性系检测的频率）为，一个相对光源以速度运动的观测者接收到的光信号频率为，观测者的速度方向和光源运动方向的夹角为。在狭义相对论中，光源的多普勒效应（Doppler effect）可表示为

注意到

即使光源横向运动，观测者也将收到红移（red shift）的光信号，这是在牛顿力学中不可能发生的。验证横向多普勒效应是对狭义相对论的有力检验之一。

洛伦兹不变性的检验

扰动标准模型的拉格朗日量，使其对洛伦兹不变性有一个微小的偏离后，将会产生新的宇宙射线物理学和中微子物理学现象。相关的高能实验能对其作出检验。

极限速度的检验

因果律和狭义相对论要求信号的极限速度为

图中曲线是理论上的相对论速度-能量关系，实验数据点的对象介子。

电子的相对论质量变化的检验

按照狭义相对论，电子质量m将随速度增大而增大，可通过测量电子的动能与动量来间接检验。

红色曲线是理论上的相对论动能-动量关系，蓝色曲线是理论上的牛顿力学的动能-动量关系。从图中可以看出，实验数据点与红色曲线较为吻合。

狭义相对论的相关实验目前仍在进行，一部分原因是出于量子层面的，已经有许多量子引力和弦理论模型考虑了狭义相对论在接近普朗克尺度时被破坏的可能性。

对理论物理学的影响

在牛顿力学统治的时代，物理学家的主要研究对象是宏观的力学系统，牛顿力学定律是在这一宏观尺度上经验总结和实验推断的结果。从电磁学现象的发现到狭义相对论的建立，研究对象的尺度发生改变，问题实际上涉及到高速运动的微观粒子。狭义相对论就是在这里发挥巨大威力的。比如，德布罗意利用相对论能量动量关系提出了物质波假设和德布罗意关系，托马斯考虑了相对论运动学效应后才给出正确的自旋轨道耦合相互作用。

在狭义相对论中，信号传播的极限速度是光速，相互作用只能是定域的，这一理念是爱因斯坦早期反对量子力学完备性的强烈理由。爱因斯坦的质疑推动了隐变量理论和贝尔不等式的检验，最终物理学家发现了量子力学的固有非定域特征。

物理学家研究微观世界，离不开量子场论，而量子场论是建立在量子力学和狭义相对论的基础上的。

除了启发和指导新理论，狭义相对论对物理学家思考问题的方式产生了深远的影响。洛伦兹群反映连续的时空对称性，它要求物理的拉氏量应具有时空转动（boost）和空间旋转不变性，这启发物理学家去发现系统潜在的自由度和对称性，如宇称、同位旋、规范对称性等。

狭义相对论的困难

在创立狭义相对论以后，爱因斯坦认识到该理论存在两个严重的困难：

1. 狭义相对论在众多的参考系中，承认了惯性参考系相比其他参考系具有优越性，物理学规律在所有惯性系中都是平权的；然而，惯性系本身却无法被定义。

2. 爱因斯坦无法将万有引力定律纳入狭义相对论的框架，万有引力定律无法被修改为洛伦兹协变的形式。

通过对这两个困难的思考，爱因斯坦创立了广义相对论。

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