摩擦角

物理学术语

摩擦角：（见概述图）当物体处于滑动的临界状态时，静摩擦力FS达到最大值Fmax,此时FR 与FN 的夹角也最大，此时的φm 称为摩擦角。

新论

大家知道物体恰好能从粗糙斜面上匀速下滑时斜面的倾角称为摩擦角。如果测得这个角度就能确定物体与斜面之间的动摩擦因数，即μ=tanθ。

不过用这种方法测定摩擦因数有一定的难度，因为物体是否真正作匀速运动，依靠目力是难以辨别的。我们发现在变速运动的情况下也可以引入摩擦角，只要量出角度就能得到摩擦因数，从而可以避免判定速度是否均匀的困难。

摩擦角

课本上有这样一道题目：在斜面上端A处有一个物体自静止起滑下，滑至水平面C点停止，若物体与斜面、平面间的摩擦因数均为μ，A与C之间水平距离为S，物体开始下滑的高度AD=h，坡面长度为AB，试证滑动摩擦因数μ=h/S。

这个题目的证明并不难，设斜面AB与水平面夹角为α，根据功能关系，物体克服摩擦力所做的功等于物体机械能的减少。即

mgh=F1·AB+F2·BC

F1、F2为摩擦力，分别等于μmgcosα和μmg，代入后可得

mgh=μmgcosα·AB+μmg·BC

∵ABcosα=DB，上式可以写作

h=μ(DB+BC)

式中DB+BC=S，

∴μ=h/S。

从这个问题引伸出去，我们连接直线Ac，令AC与DC间夹角为θ，则得到了一个新的摩擦角θ(图2)，这时同样有

μ=tanθ

这个结果与假定物体从A匀速沿AC滑动得到的结果是等效的。于是我们设想，如果坡面是由多段折线组成(图3)，物体从A点出发最终停止在E点，那么是否也只要将AE联结起来，量出它与水平面的夹角θ，就能得到摩擦因数呢？

从图3可以看出，ABcosα=S1,CDcosβ=S3，DEcosδ=S4,根据功能关系，

mg(h1-h2)=F1AB+F2BC+F3CD+F4DE

同样能得到

μ=△h/S=tanθ。

因此在变速情况下也存在一种摩擦角，只要量出起点至终点连线与水平面之间夹角就能测定滑动摩擦因数。当然实际上用这个方法测定摩擦因数也有误差，因为在斜坡的转角处往往有冲击，有能量的损失，我们在计算时略去了这个因素。

有趣的是这种变速情况下的摩擦角有它的实用价值。例如对高山滑雪运动来说，知道了滑雪板与雪之间的滑动摩擦因数，也就是知道了摩擦角。运动员只要用一个量角器作观察仪器向山下观察，沿摩擦角θ所观察到的那一点就是他能不加任何动力而到达的终点(图4中N点)。如果在直线MN的中间被一个高峰阻挡(图中虚线部分)，那么他只能停止在峰的左侧P点，不可能超越这个山峰抵达N点。说到这里必然有人会问，如果P点斜坡的坡度很大，其倾角超过了最大静摩擦角。也就是说滑雪运动员在这一点停不住，那么他将滑至何处呢？我们可以在P点再画摩擦角θ，即直线Pq，他将停在q点。以此类推，如果q点还不能停住，则再向下画θ角。从这里可以看出，最终停止的点除了受滑动摩擦角制约之外，还受到该处最大静摩擦角的制约。

如何研究摩擦角

下面研究静止在粗糙斜面上物体能不能用角度来确定摩擦因数？

图5中斜面倾角为θ，在A情况下物体处于静止状态，沿斜面方向受到二个力，一个是重力的分力mgsinθ，另一个是静摩擦力f，这时物体静止着，所以f=mgsinθ。现在给物体加一个水平推力F，使物体作匀速运动。这时物体受到三个力，滑动摩擦力的大小为μmgcosθ，方向是F，与mgsinθ合力的反方向。可以看到物体将沿斜线BD缓缓斜向下方移动，量出BD与水平线之间夹角α，由图5可以看出

f=mgsinθ/sinα，

即和α角就能测得动摩因数μ。用这个方法测μ比改变斜面倾角使物体匀速滑下测μ要简单一些。但是水平推力F掌握得不好有可能给测量带来误差。

沿圆弧运动物体的摩擦角

将上述两种方法结合起来考虑可以产生一种新的思路。我们发现使坡面上物体做变速圆弧运动，能更方便、更准确地测定动摩擦因数。

图6所示在倾角为θ的坡面上用细线l系住一质量为m的物体(斜面倾角应大于最大静摩擦角)。用钉子将线的另一端固定在斜坡的上边MN中央。将物体从最高点A静止起释放，物体将沿斜面滑下，在线的拉力作用下作圆弧运动。开始速率增大，然后速率减小，最后停止在B点。这时细线扫过的夹角为φ可以直接测得。从图上可以看出，物体通过的弧长

S=l·φ (1)

从B点向斜坡上边MN作垂线BD，令BD=d，从B点向MNQP平面作垂线BE，则DE为物体下落的高度h。

应有 h=dsinθ (2)

d=lsinθ (3)

根据功能关系 fS=mgh (4)

而物体受到的滑动摩擦力

f=μmgcosθ (5)

将(1)(2)(3)(5)式代入(4)式得

可以看出，θ一定时φ角不同，得到的μ值不同。图7是sinφ和φ

角的增大而减小。这说明物体下滑的φ角越大测得的摩擦因数μ越小。若φ=90°时物体停止，且斜面倾角θ=45°的话，那么

这种方法中同样存在着角很大时物体可能不能够在坡面上停住，从而产生倒滑。这时在计算θ时要将倒滑的角与前面的φ角相加进行计算。为了避免倒滑带来的测量麻烦，可以减小斜面的倾角θ，使θ较接近于最大静摩擦角，那么就能避免倒滑。

比较三种摩擦角