数

数学

数是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念，是比较同质或同属性事物的等级的简单符号记录形式（或称度量）。代表数的一系列符号，包括数字、运算符号等统称为记数系统。在日常生活中，数通常出在标记（如公路、电话和门牌号码）、序列的指标（序列号）和代码（ISBN）上。在数学里，数的定义延伸至包含如分数、负数、无理数、超越数及复数等抽象化的概念。

诞生及发展

“数”是量度事物的概念。是客观存在的量的意识表述。“数字”起源于原始人类用来数数计数的记号形成自然数“数”的符号，是人类最伟大的发明之一，是人类精确描述事物的基础。在人类漫长的历史进程中，

1.通过对现实事物数数这种方式得到了数；

2.数可以使用一定的方式进行运算；

3.数同空间事物相联系时，可表明这些事物的多少。（摘自自然数原本数数论）

若干年以前，人类的祖先为了生存，往往几十人在一起，过着群居的生活。他们白天共同劳动，搜捕野兽、飞禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用劳动所得。在长期的共同劳动和生活中，他们之间逐渐到了有些什么非说不可的地步，于是产生了语言。他们能用简单的语言夹杂手势，来表达感情和交流思想。随着劳动内容的发展，他们的语言也不断发展，终于超过了一切其他动物的语言。其中的主要标志之一，就是语言包含了算术的色彩。

他们狩猎而归，猎物或有或无，于是有了“有”与“无”两个概念。连续几天“无”兽可捕，就没有肉吃了，“有”、“无”的概念便逐渐加深。

后来，群居发展为部落。部落由一些成员很少的家庭组成。所谓“有”，就分为“一”、“二”、“三”、“多”等四种（有的部落甚至连“三”也没有）。任何大于“三”的数量，他们都理解为“多”或者“一堆”、“一群”。有些酋长虽是长者，却说不出他捕获过多少种野兽，看见过多少种树，如果问巫医，巫医就会编造一些词汇来回答“多少种”的问题，并煞有其事地吟诵出来。然而，不管怎样，他们已经可以用双手说清这样的话（用一个指头指鹿，三个指头指箭）：“要换我一头鹿．你得给我三枝箭。”这是他们当时没有的算术知识。

大约在1万年以前，冰河退却了。一些从事游牧的石器时代的狩猎者在中东的山区内，开始了一种新的生活方式──农耕生活。他们碰到了怎样的记录日期、季节，怎样计算收藏谷物数、种子数等问题。特别是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域发展起更复杂的农业社会时，他们还碰到交纳租税的问题。这就要求数有名称。而且计数必须更准确些，只有“一”、“二”、“三”、“多”，已远远不够用了。

底格里斯河与幼发拉底河之间及两河周围，叫做美索不达米亚，那儿产生过一种文化，与埃及文化一样，也是世界上最古老的文化之一。美索不达米亚人和埃及人虽然相距很远，但却以同样的方式建立了最早的书写自然数的系统──在树木或者石头上刻痕划印来记录流逝的日子。尽管数的形状不同，但又有共同之处，他们都是用单划表示“一”。

后来（特别是以村寨定居后），他们逐渐以符号代替刻痕，即用1个符号表示1件东西，2个符号表示2件东西，依此类推，这种记数方法延续了很久。大约在5000年以前，埃及的祭司已在一种用芦苇制成的草纸上书写数的符号，而美索不达米亚的祭司则是写在松软的泥板上。他们除了仍用单划表示“－”以外，还用其它符号表示“+”或者更大的自然数；他们重复地使用这些单划和符号，以表示所需要的数字。

公元前1500年，南美洲秘鲁印加族（印第安人的一部分）习惯于“结绳记数”──每收进一捆庄稼，就在绳子上打个结，用结的多少来记录收成。“结”与痕有一样的作用，也是用来表示自然数的。根据中国古书《易经》的记载，上古时期的中国人也是“结绳而治”，就是用在绳上打结的办法来记事表数。后来又改为“书契”，即用刀在竹片或木头上刻痕记数．用一划代表“一”。中国人还常用“正”字来记数．每一划代表“一”。当然，这个“正”字还包含着“逢五进一”的意思。

自然数

在数东西的时候，数出的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、…叫自然数。

自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。基本单位为1，计数单位有个、十、百、千、万等

分类

按“能否被2整除”可分为：奇数、偶数。

按“因数个数”可分为：质数、合数。

用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，…所表示的数。自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷集体。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

序数理论

是意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano）提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。

自然数集N是指满足以下条件的集合：

Ⅰ N中有一个元素，记作1。

Ⅱ N中每一个元素a都能在 N中找到一个元素作为它的后继者，记作a'。

Ⅲ 0'=1。

Ⅳ 0不是任何元素的后继者。

Ⅴ 不同元素有不同的后继者。

Ⅵ （归纳公理）对于N的任一子集M，如果1∈M，并且只要a在M中就能推出a'也在M中，那么M=N。

基数理论

基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数。这样，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数，记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。

自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。自然数是人类历史上最早出现的数，自然数在计数和测量中有着广泛的应用。人们还常常用自然数来给事物标号或排序，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等。

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。中国中小学教材将0归为自然数。

自然数是整数，但整数不全是自然数。

例如：-1，-2，-3，...是整数，而不是自然数。

总之一句话自然数就是大于等于0的整数。

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集）。

数的分类

我们把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…等全体非负整数组成的数称为“自然数”。把1，2，3，…，9，10向前扩充得到正整数1，2，3，…，9，10，11，…，把它反向扩充得到负整数…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1 ，介于正整数和负整数中间的“0”为中性数；把它们合在一起，得到…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，9，10，11，…，叫做整数。对整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。整数，对加、减、乘运算组成了一个封闭的数集合，是数学古老分支“数论”研究的对象。著名的德国数学家高斯说：“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。除法运算，如7/11 = 0.636363 …、11/7 = 1.5714285 …，不再是整数，也就是说整数对除法运算是不封闭的。为了使数集合对加、减、乘、除四则运算都是封闭的，就必须增加新的数，如7/11、11/7，为两个整数之比，称为可比数、分数，现在通称为有理数。

把数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验进行总结和整理，形成最古老的一门数学——算术。有理数集合，对加、减、乘、除四则运算组成了一个封闭的数集合，看起来似乎已很完备。2500多年前，不少人、甚至当时一些数学家也是这样看的。

公元前5世纪，当时的毕达哥拉斯学派很重视整数，想用它说明一切，“数是万物之本”成了他们的哲学观。无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，数学史上把这件事称为“第一次数学危机”。在之后，又发现了很多无理数，圆周率π就是其中最重要的一个。15世纪意大利著名画家达·芬奇把它称之为“无理之数”。现在，人们把有理数和无理数合并在一起，称为“实数”。由此得到两个解：和，它们还是（2）的解吗。如果认为不是，（2）就没有解，解方程如同走进了死胡同。为解决这一问题，数学家不得不再次扩大数的范围，引入符号“i”表示“－1的平方根”，即，称为虚数；再把实数a、b和虚数结合起来，组成形式的数，称为“复数”。在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，让人感到有点虚无缥缈。随着科学的发展，虚数在水力、绘图、航空等领域中得到了广泛的应用。这样，数的家族就进一步扩大，包括实数和虚数两大类，并把加、减、乘、除的扩展到包括乘方和开方的，形成了数学中一个新的分支“代数”。代数进一步向两个方面发展，一是研究未知数更多的一次方程组，引进矩阵、向量、空间等符号和概念，形成“线性代数”；另一是研究未知数次数更高的高次方程，形成“多项式代数”（也叫“多项式理论”）。这样，代数研究的对象，不仅是数，还包括矩阵、向量、向量空间及其变换等。它们都可以进行“运算”，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再有效。因此，代数学的内容可以概括称为带有运算的一些代数结构的集合，如群、环、域等，又含抽象代数、布尔代数、关系代数、计算机代数等众多分支.由于科学技术发展的需要，数的范围不断扩大，从正整数、自然数、整数、实数到复数，再到向量、张量、矩阵、群、环、域等不断的扩充与发展。为区别起见，人们把实数和复数称为“狭义数”，把向量、张量、矩阵等称为“广义数”。尽管人们对数如何分类还有一些不同的看法，但都承认数的概念还会不断扩充和发展。

数的存储格式

数的存储格式也就是数字的存储顺序。在表示数值的大小时，一个字节(byte)最大只能表示255(0xFF),这也是远远不够的。为了满足实际的使用需要，通常会使用2个，4个或者8个字节(byte)来表示数值的大小。对于使用多字节表示数值的情况 ,就存在一个顺序问题。数的存储顺序有两种——Big-endian(大头位序)格式和Little-endian(小头序列)。

数的单位

黄帝为法，数有十等。及其用也，乃有三焉。十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上、中、下也。其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆日京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。下数浅短，计事则不尽。上数宏廓，世不可用。故其傅业，推以中数耳。

余时问曰：「先生之言上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得〔无〕穷。」

先生笑曰：「盖未之思耳。数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，岂有穷乎。」

小兼大者，备加董氏《三等术数》。加更载为烦，故〔略〕焉。

中国自汉至清的典籍一直都是亿进位制，唯独日本的《尘劫记》采用的是万进位制。中国与日本的不同还有：中国最大是无量数、最小是净，日本没有无量数，取而代之的是无量，最大是大数、最小是埃。中国没有虚空、清净、阿赖耶等多音节数词。中国元代的数学家朱世杰与他的《算学启蒙》创造性地（可能参考了《华严经》与《僧祇律》）继承了东汉的数学家徐岳的《数术记遗》以及唐宋的数学家谢察微的《发蒙算经》，把中国的大数与小数同时拓展到了10±128（10100即万恒河沙，10-100即万虚）。徐岳的《数术记遗》中的“数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，岂有穷乎。”又把中国的大数与小数同时拓展到了10±∞。这些都是日本的《尘劫记》所不及的。

无量数即是净，净即是无量数。外框的净与无量数其实是上划线的净与下划线的无量数，分别表示上一轮与下一轮循环。

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