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无理方程

数学概念

无理方程就是根号下含有未知数（被开方数是含有未知数）的方程，无理方程又叫根式方程。有理方程和根式方程(无理方程)合称为代数方程。解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程。

基本概念
被开方式中含有未知数的方程是无理方程，无理方程的一般解法是把方程有理化，转化为有理方程求解。
①移项平方：将根号移向一边，其余均在另一边，平方即去掉根号，转成整式方程；
②解整式方程；
③代回原方程验证，满足定义域即可，反之舍掉。
注意点： 求定义域要考虑两方面：根号下非负，移项后左右两边均非负。即如 ，移项后得 平方去根号得 ，所以 ，所以得 故 其定义域应满足 ，即 ，原方程的根只有一个，即1。
无理方程的辨别
判断一个方程是否是无理方程，只看形式上是否同时符合无理方程定义中的两个条件：①含根式；②被开方数中含有未知数。
判断无理方程有无实根
例1下列无理方程中，有实数解的是（ ）。
① ②
③ ④
⑤ ⑥
解: 第①小题，方程左边大于等于0，而右边小于0．所以无解。
第②小题，两边平方可求得方程的根为x=-2；
第③小题，解无理方程是在实数范围内进行，故要使二次根式有意义，须且只能等于2，因而方程左边等于0，而右边等于1，两边不等，所以无解。
第④小题，同第③小题，要使根式有意义，只能等于2，而当时，方程左右两边相等，因而方程有解。
第⑤小题，根据实数的非负性，可求得
第⑥小题，同第③小题．要使二次根式有意义，有且即且所以无解。
所以，有实数解的是②④⑤。
注意： 判断一个无理方程无解的方法主要是借助两个实数的非负性，即(二次)根式的被开方数非负(内非负)，如⑥；二次根式的值非负(外非负)，如①、③用到了内非负，但也用到了别的原则。
无理方程解法详述
解无理方程的基本思想和步骤：
无理方程的解法，主要是运用“化归的数学思想”将它化为有理方程，基本方法是“两边平方”，这一步不是同解变换，所以必须验根．有时还用“换元法”和其他一些技巧。后面将要提到的换元法、观察法等，实际上最后都离不开“两边平方”。
“两边平方”法
“两边平方”法一般步骤：
①两边平方，把原方程化为有理方程；
④解这个有理方程，
③验根并作答：将解得的根代入原无理方程检验。
(2) 验根问题：
无理方程的验根和分式方程不同．验根时不但要将它代入根式内，检验被开方是否非负；还要代入整个方程，检验它是否适合等式．例如下列例题的第(1)小题，代入根式是有意义的，但代入方程，两边不相等，所以还是增根。
例2 解下列关于的无理方程：
解: (1)两边平方，整理得
解得
经检验，代入方程中不合理，故是原方程的增根，舍去。
所以，原方程的根是
(2)两边平方，整理得
或
解得
经检验，是原方程的增根，舍去。
所以，原方程的根是。
换元法
例3 解方程：。
解： 设，则原方程可变成
(1)当时，所以无解。
(2)当时，
经检验都是原方程的根，所以原方程的根为。
这是解无理方程的第二种解法——换元法。
用换元法解无理方程的一般步骤：
(1) 观察、分析方程的特点，寻求换元简捷途径，设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式去表达方程中另外的代数式；
(2) 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；
(3) 把辅助未知数的值代入原设中，求出原方程未知数的值；
(4) 检验并作答。
换元法通常用于用“两边平方”法无法解决或难以解决的时候(得到的有理方程是高次方程)，也常用于“两边平方”法虽可以解决，但比较繁琐的情形。
无论用什么方法解无理方程，验根都是必不可少的重要步骤。
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