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无穷序列

数学分析的基本概念

序列(sequence)是数学分析的基本概念之一，即可用自然数编号，并按编号从小到大的次序排列的同一类数学对象。若将序列看做集合，它的元素称为序列的项，但序列并非一般的集合，序列的项有先后次序，并且不同的项可以是相同的元素。序列可以只有有限项，称为有限序列，不只有限项的序列称为无穷序列，这是数学分析中通常讨论的对象。序列按各项顺序排列可写为a1，a2，…，an，…，简记为{an}。排在第n位的项an称为第n项，把n看做在自然数集N中变动时，亦把an称为通项。序列常随其所包含的数学对象使用不同名称，例如：各项都是数的序列称为数列，各项都是点的称为点列，各项都是函数的称为函数列。数列也可看做定义域为自然数集N或其部分Nk={1，2，…，k}的函数或映射(f∶n→an)，因此亦称整序变量。数列还常用数轴上的点列表示，所以数列与直线上的点列可以不加区分。

基本介绍
定义1
设有按照从左到右的次序所排列的无穷多个如下的数
就把它叫做无穷序列，简称序列。记为。序列中的每一个数都叫做序列的元素，并把叫做序列的第m个元素(m是一个正整数)。
定义2
序列(sequence)是以序数为定义域的函数。设为一个函数，为序数，则称为一个序列，记为。当时，则称序列为有穷序列；若，则称这一序列为n元有序组；若，则称序列为无穷序列或超穷序列。有时为了某些特殊需要，也将一般的函数变成一个序列。设为集合上的函数，用符号表示此函数，这时称此函数为一个集合序列，称为指标集。若的值域为序数集，则称为一个序数序列；若的值域为基数，则称为基数序列等。
序列的分类与子序列
如果序列的各元素有如下的关系
就说它是一个增序列。如果各元素有如下的关系
就说它是一个不减序列。如果各元素有如下的关系
就说它是一个减序列。如果各元素有如下的关系
就说它是一个不增序列。
如果从序列中取出一部分元素(无穷多个)，仍按它们原来的次序排列起来，就得到如下的新序列
它叫做属于序列的子序列，简记为。
例如，下面的每一行都是一个序列。其中的第一行是—个增序列，第二行是一个减序列
下面这个序列就是上面第三行的序列的一个子序列：
如果一个序列的一切元素都含在某一有界集内，就说这个序列是一个有界序列。
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