无限小数

数学术语

无限小数，数学术语，是指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。

基本内容

计数单位：一(个)、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。

十进制计数法：10个一是十，10个十是百……10个一百亿是一千亿，每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法。

在测量物体时，往往会得到不是整数的数。于是古人就发明了小数来补充整数。小数是十进分数的一种特殊表现形式。小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界线，小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分则是小数部分。整数部分为零的小数叫做纯小数，而整数部分不是零的小数叫做带小数。例如：0.3是纯小数，3.1则是带小数。

小数的基本性质是：在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小不变。

实数是由有理数和无理数组成的，整数和分数统称有理数，它们是有限小数和无限循环小数，而把无限不循环小数叫做无理数。

实数和数轴上的点是一一对应的。也就是说，实数是可以表现任意一条线段的长度，并且同一条线段只有一个长度。

分类

小数可以分为有限小数和无限小数两类，而无限小数又分无限循环小数与无限不循环小数两类。

无限循环小数

从小数点后某一位开始不断地出重复现前一个或一节数码的十进制无限小数。如2.1666…、35.232323…等，被重复的一个或一节数码称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数码全部略去，而在保留的循环节首末两位上方各添一个小点。例如，2.166…缩写为（读作“二点一六，六循环”）、0.34103103…103…缩写为（读作“零点三四一零三，一零三循环”）。在数的分类中，无限循环小数属于有理数。

有些小数虽然也是无限的但不循环。如值、、2.12459537621……，这样的小数就被称为无理数。无理数不像循环小数每个数字是重复的，但也属于无限小数。

大小比较

同整数一样，小数的计数单位也按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做小数的数位。数位顺序为十分位、百分位、千分位、万分位、十万分位、百万分位……。

小数的大小比较：先看整数部分，整数部分较大的，这个数就大；整数部分相同就看十分位，十分位较大的，这个数就大；十分位相同就看百分位，百分位较大的，这个数就大。以此类推。

把小数点分别向右移动一位、二位、三位……，小数的值就分别相应扩大到原数的10倍、100倍、1000倍……。把小数点分别向左移动一位、二位、三位……，小数的值就分别相应缩小到原数的十分之一、百分之一、千分之一……。例如，要把7.4扩大到原数的10倍，只需将7.4的小数点向右移动一位，即74；若要把3.08缩小到原数的百分之一，只需将3.08的小数点向左移动2位，即0.0308（注意，当小数的位数不够时，需在前面加上相应个“0”）。

转化

小数与分数的转化

能写作两个整数的比的数叫做有理数。整数和通常所说的分数都是有理数。有理数可以划分为正有理数、0和负有理数。如3，-98.11，5.72727272……，7/22等，都是有理数。在数的十进制小数表示系统中，有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数。这一定义在其他进位制下（如二进制）也适用。

所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数（无理数）外，都可以表示成分数。

一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，可化成无限小数。

相关计算

例1：将下列各分数化为小数。

解：已知所有分数都可以表示成小数。上述分数均为最简分数，一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数，否则为无限小数。结果如下。

例2：判别下面各小数，能否化为分数。

解：已知小数中除无限不循环小数（无理数）外，都可以表示成分数。由此可知不能化为分数，0.2、、0.51均可化为分数。即。

教学应用

在教学过程中，让学生经历探究过程，有助于学生掌握新知。数学学习过程蕴藏着比知识更具有智力价值的数学思想与方法。在教学中，教师应该重视学生的学习过程，充分尊重了学生的认识水平和已有知识经验。让学生通过计算把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），引导学生观察比较，促使学生大胆进行猜想，并进行验证。这样，给学生提供了自主探究空间与时间。在验证自己猜想的过程中，学生的思维活跃，可以通过认真观察，独立思考，发现所有分数都可以表示成小数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数，否则为无限小数。反过来，小数化成整数中，小数中除无限不循环小数（无理数）外，都可以表示成分数。在整个探究过程中，充分调动学生学习的积极性与主动性，经历知识探究过程，学生发现并理解所学的知识，从而也掌握了一种“猜想—验证”的学习方法。

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