旧量子论

物理学术语

旧量子论是一些比现代量子力学还早期，出现于1900年至1925年之间的量子理论。虽然并不很完整或一致，这些启发式理论是对于经典力学所做的最初始的量子修正。旧量子论最亮丽辉煌的贡献无疑应属玻尔模型。

历史

马克斯·普朗克对于光波的发射和吸收的研究，点燃了旧量子论。后来，爱因斯坦发表了固体比热的杰作。紧接着，应用量子原理于原子运动，彼得·德拜解释了比热的异常现象。这些贡献开启了旧量子论如火如荼的发展。

1913年，玻尔发表了对应原理。应用这原理，他又建构了氢原子的玻尔模型，成功地解释出氢原子的发射谱线。

整个1910年代，一直到1920年代中期，物理学家应用旧量子论为一个解析原子问题的崭新利器。但是有成功也有失败，效果并不一致。在这期间，科学家知晓了分子的旋转和振动谱线，也发现了电子自旋；但这些也引起了半整数量子数的困惑。爱因斯坦提出了零点能量理论。阿诺·索末菲半经典地量子化相对论性氢原子。克拉莫给予了斯塔克效应(Stark effect)一个合理的解释。萨特延德拉·玻色和爱因斯坦正确地找到了光子的量子统计。

于1924年，克拉莫发表了量子色散理论，借着运动轨道的傅里叶分量，可以计算从一个量子态跃迁至另一个量子态的概率。通过与海森堡的合作，这点子被延伸为一个半经典的，以类似矩阵的形式来描述的原子跃迁概率。海森堡继续这研究，以这跃迁方法来重新表述量子理论，原创出矩阵力学。

同样于1924年，德布罗意提出物质的波动理论。在1926年，薛定谔找到了一个量子波动方程，能够清楚明了，前后一致地复制旧量子论的所有成果。后来，薛定谔证明了他的波动力学和海森堡矩阵力学是等价的。波动力学和矩阵力学共同结束了旧量子论的时代。

绪论

旧量子论是一些比现代量子力学还早期，出现于1900年至1925年之间的量子理论。虽然并不很完整或一致，这些启发式理论是对于经典力学所做的最初始的量子修正。旧量子论最亮丽辉煌的贡献无疑应属玻尔模型。自从夫朗和斐于1814年发现了太阳光谱的谱线之后，经过近百年的努力，物理学家仍旧无法找到一个合理的解释。而玻尔的模型居然能以简单的算术公式，准确地计算出氢原子的谱线。这惊人的结果给予了科学家无比的鼓励和振奋，他们的确是朝着正确的方向前进。很多年轻有为的物理学家，都开始研究量子方面的物理。因为，可以得到很多珍贵的结果。

直到今天，旧量子论仍旧有声有色地存在着。它已经转变成一种半经典近似方法，称为WKB近似。许多物理学家时常会使用WKB近似来解析一些极困难的量子问题。在1970年代和1980年代，物理学家Martin Gutzwiller发现了怎样半经典地解析混沌理论之后，这研究领域又变得非常热门。

基本原理

旧量子论的基本原理谈到原子系统的运动是量子化的，离散的。原子系统遵守经典力学；但不是每一种运动都合法，只有那些遵守旧量子条件的运动是合法的：

其中，是动量，是对应的坐标，是整数的量子数，h是普朗克常数。

旧量子条件又称为威耳逊-索末菲量子化定则，是由威耳逊和索末菲各自发现的。旧量子条件公式的闭路积分取于整个运动的一周期，是相空间的面积，称为作用量。由于在这里，作用量被量子化为以普朗克常数为单位的整数，因此，普朗克常数时常被称为作用量的量子。

为了要符合旧量子条件，经典运动必须是可分的，意思是说，运动方程可以分为几个独立部分，每一个独立部分都包含了一个不同的坐标，而每一个坐标的方程部分所描述的运动都是周期性的。不同部分描述的运动不一定会有同样的周期，它们的周期甚至是互相不可通约的。可是，整个系统必须有一组可分的坐标，每一个坐标的方程部分都分别描述一个周期性的运动。

使用旧量子条件的动机，一个是对应原理，还有一个就是量子化的物理量必须是缓渐不变量的实际物理观察。例如，给予谐振子的普朗克量子化定律，这两个条件中，任意一个条件决定了量子化一个一般系统的正确经典物理量。

范例

一维位势

一维问题的解析相当容易。给予任意能量E，从能量守恒定律，可以计算出粒子的动量：

其中，V(q)是坐标为q的地点的位势。

转向点是粒子动量消失的位置。在经典转向点之间，将这动量的公式积分于所有q的可能值，再加入旧量子条件，就可以得到旧量子条件的方程。

假设，这问题是盒中粒子问题。则旧量子条件方程为

其中，n是正整数，L是盒子的长度。

那么，容许的动量是

容许的离散能级是

旋转子

在一根长度为 R的无质量刚杆的一端，连结著一个质量为M的粒子，称这连结体为旋转子。假设，刚杆的另外一端固定于一个固定点，则旋转子可以绕着这固定点作旋转运动。采用极坐标系，这旋转子的旋转运动的拉格朗日量L是

其中，是角坐标。

角坐标的共轭动量J是

旧量子条件要求的周期、J，两个物理量的乘积为普朗克常数乘以整数倍数n：

也就是说，角动量J是约化普朗克常数的整数倍数。将这旧量子条件带入玻尔模型，就可以得到氢原子的能级！

氢原子

氢原子物理的角部分只是一个旋转子，给出量子数l、m。剩余的径向部分是在位势作用下的周期性一维运动，可以解析。

给予固定值的总角动量L，一个经典开普勒问题的哈密顿量H是（为了简化方程，重定义质量的单位和能量的单位。这样，可以吸收两个常数：质量和库仑定律的系数）：

其中，r是径向坐标，p是径向动量。

设定能量为常数E，径向动量是

由于位势乃反平方连心势，经典的电子运动轨道是椭圆。近拱点和远拱点分别是当p=0时电子位置的径向坐标：

所以，旧量子条件是

其中，是一个新的量子数。

经过一番运算，可以得到

将量子化的角动量代入，稍加编排，可得能量为

两个量子数k、l共同决定了能量。设定主量子数n：n=k+l。由于k是非负整数， l的容许值必须小于或等于n。除了某些小地方以外，这结果与玻尔模型的能级结果完全相同。

前述关于氢原子的半经典理论称为索末菲模型。其轨道是各种不同尺寸的椭圆轨道处于离散的倾斜平面。索末菲模型预测，原子沿着某直轴的磁矩，只能给出离散值。这预测似乎与旋转不变性相矛盾，但是却被施特恩-格拉赫实验证实是正确的。

克拉莫跃迁关系

旧量子论只能适用于特定的力学系统，能够用周期性的作用量-角度变量来分离的特别力学系统。旧量子论无法处理辐射的发射和吸收。虽然这样，亨德里克·克拉莫(Hendrik Kramers)找到了一个启发式，描述怎样计算辐射的发射和吸收。

克拉莫建议，应该傅里叶分析一个量子系统的轨道，将轨道依照轨道频率的倍数分解成调和函数：

其中，下标n是轨道的量子数，在索末菲模型里，代表n,l,m量子数组，是轨道的角频率，k是傅里叶模态。

克拉莫注意到，只有当频率是轨道频率的整数倍数的时候，才会发生辐射的经典发射。在他的量子色散理论里，他提议两个物理态之间的跃迁可以比拟为辐射的经典发射。那么，辐射的发射率应正比于，如同在经典力学的应有的物理行为。克拉莫的描述并不精确，因为傅里叶分量的频率并不完全匹配能级之间的差距。这点子后来引导出矩阵力学的发展。

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