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普罗斯数

既是普罗斯数又是素数的整数

普罗斯数是如下形式的数：k×2n+1

例子
最初的几个普罗斯数为：（OEIS中的数列A080075）
P0 = 2^1 + 1 = 3,P1 = 2^2 + 1 = 5,P2 = 2^3 + 1 = 9,P3 = 3 × 2^2 + 1 = 13,P4 = 2^4 + 1 = 17,P5 = 3 × 2^3 + 1 = 25,P6 = 2^5 + 1 = 33
最初的几个普罗斯素数为：A080076
3，5，13，17，41，97，113，193，241，257，353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857
费马数是特殊的普罗斯数，其中k是1，而n是2的幂。由于只发现了5个费马素数，即前5个费马数3、5、17、257、65537，因此这5个数既是费马素数也是普罗斯素数。
普罗斯定理
普罗斯定理是判断普罗斯数是否为素数的方法。
如果p是普罗斯数，那么如果对于某个整数a，有a^((p-1)/2)≡-1(mod p)
则p是素数。这是一个有实际用途的方法，因为如果p是素数，任何选定的a都有百分之50的概率满足这个关系式。
例如：
对于p = 3，2^1 + 1 = 3能被3整除，所以3是素数。对于p = 5，3^2 + 1 = 10能被5整除，所以5是素数。对于p = 13，5^6 + 1 = 15626 能被13整除，所以13是素数。对于p = 9，不存在a使得a^4 + 1能被9整数。
特别地，由于费马数是特殊的普罗斯数，费马数也满足普罗斯定理。甚至有进一步结论：
对于费马数F，如果3^((F-1)/2)≡-1(mod F)，则该费马数是素数。
证明：
费马数F=2^2^n+1总是模3余-1、模4余1，根据二次互反律，当费马数F是素数时，3不是F的二次剩余，由欧拉准则即证毕。
费马数的因数
费马数的全部素因数均为普罗斯素数。
定理：费马数F_n=2^2^n+1的素因数具有k2^{n+2}+1的形式。
证明：
设费马数F_n=2^2^n+1，p为F_n的素因数，则有：
2^2^n≡-1(mod p)
因此2模p的阶为2^{n+1}。
对于n≥2，p为模8余1，因此2是模p的二次剩余。由欧拉准则，2^{n+1}整除(p-1)/2，整理即证毕。
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