费马数

以数学家费马命名的一组自然数

费马数是以数学家费马命名的一组自然数，法国数学家费马对n=0,1, 2, 3, 4的情形做了检验，发现这组费马公式得到的数都是素数。

定义

费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式( )记为Fn，Fn即为费马数。已知的费马素数只有至五个。

由来

法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：

揭示了十进制和二进制的关系

可以发现

前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为这个数是质数。

由此提出（费马没给出证明），形如的数都是质数的猜想。后来人们就把形如的数叫费马数。

猜想结论

1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6= =274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。几个费马数的分解情况是：

F6 = 274177 × 67280421310721

F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = 1238926361552897 ×93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 ×74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737

F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778、192897 × P252

F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564

F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 ×

568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133

F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 ×

319546020820551643220672513 × C2391

性质

任意两个费马数都互质。

证明如下：设m>n, ，而 = = =……= ，所以整除。根据辗转相除的原理，，所以任意两个费马数都互质。

费马数满足以下的递回关系：

其中n ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ i < j 且 Fi 和 Fj 有一个公因子 a > 1。那么 a 能把和Fj都整除；则a能整除它们相减的差。因为a > 1，这使得a = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。

其他性质：

(参见高斯函数).

普遍公式

实际上几千年来，数学家们一直在寻找这样的一个公式，一个能求出所有质数的公式；但直到现在，谁也未能找到这样一个公式，而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在；这样的公式存不存在，也就成了一个著名的数学难题。参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”。那里有可以构造一切素数的普遍公式。

虽然费马数作为一个关于质数公式的尝试失败了，但有意思的是，1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.但是，高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格（Johannes Erchinger）给出.

具体形式

费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式：

其中 n 为非负整数。

若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a,b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (-1)b + 1 ≡ 0 （mod 2a + 1）。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。

猜想

1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。

费马所研究的这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗？

进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大， Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5　=4294967297已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？

1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”

这个问题吸引了欧拉。1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 =641×6700417，其中641=5×27+1 这一结果意味着F5 是一个合数，因此费马的猜想是错的。

在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了。

此后人们对更多的费马数进行了研究。随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外没有再发现一个。

变形

变形费马数是改变了数值，采用同样性质的费马数，例如：。

n=0时，，素数；

n=1时，，素数；

n=2时，，素数；

n=3时，，素数；