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素数普遍公式

数学术语

素数普遍公式，别名是埃拉特斯特尼筛法公式，是利用埃拉特斯特尼筛法转换成为一个公式。

公式
...(1)
　
目录
引言
2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。
素数公式
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.
（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：
...(1)
其中表示顺序素数2，3，5，,,,,。。若N<，则N是一个素数。
（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：
由于（2）的模两两互素，根据孙子定理（范围内有解。
例如k=1时，，解得N=3，5，7。求得了（3，）区间的全部素数。
k=2时，
，解得N=7，13，19；
，解得N=5，11，17，23。求得了（5，）区间的全部素数。
求得了（7，）区间的全部素数。
仿此下去可以一个不漏地求得任意给定数以内的全部素数。
用于哥德巴赫猜想
怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数(参见台尔曼公式)，即n+X成为素数，n-X也是素数。根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q和r（0≤r同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，...，m-1中一数同余（mod m）”。所以，任给一个自然数n (n>4)，都可以唯一表示成：
......(3)
其中：其中表示顺序素数2，3，5，,,,,。。
是否存在：
......(4)
并且：；。
这样解得的，,，如果，则与都是素数。
因为：，,这个就是哥德巴赫猜想。
范例
设n=20，
构造:
四个解是：21，27，3，9。小于N-2的X有3和9，
我们得知，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。
这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且果，n+X与n-X是一对素数。因为（n+X）+（n-X）=2n。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我们需要证明（4）式必然有小于n-2的解，尽管我们现在不能证明它。 埃拉托斯特尼筛法的普遍公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把问题转入到初等数论范围。
用于孪生素数问题
　公式　孪生素数有一个十分精确的孪生素数公式，利用素数判定法则：“若自然数与都不能被不大于的任何素数整除，则与是一对素数，称为孪生素数。这一句话用数学语言表达就是：
存在一组自然数使得：
......(5)
其中表示顺序素数2，3，5，....。
。
若，,则与是一对孪生素数。
上式可以用同余式组表示：
......(6)。
由于（6）式的模两两互素，根据孙子（中国剩余）定理，对于给定的b值,（6）式在范围内有唯一的解。
范例
例如，k=1时，，解得=3和5，5<，得知3与3+2，5与5+2是两对孪生素数。从而得到了区间的全部孪生素数。
k=2时，=。解得=5，11，17。17<，得知11与11+2，17与17+2是孪生素数对，从而得到区间的全部孪生素数。
仿此下去可以一个不漏地求得任意给定数以内的全部孪生素数
推论
孪生素数猜想就是要证明（4）式或者（5）式在k值任意大时都有小于的解。问题已经转入到初等数论范围。
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