初等数论

数学分支

初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。

历史发展

古希腊

古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。

初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。后来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式：

公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：

（一）“要得到不大于某个自然数n（不等于0）的所有素数，只要在2至n中将不大于的素数的倍数全部划去即可”。

（二）将上面的内容等价转换：“如果n是合数（非0自然数），则它有一个因子d满足 ”。

（三）再从（二）得到等价的逆否命题：“若自然数n不能被不大于的任何素数整除，则n是一个素数”。

（四）上述的（三）可以用符号如此表达：

N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak （1）

其中p1，p2，.....，pk顺序地表示素数2，3，5，...。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若，则N是一个素数。

（五）可以把上述的式（1）用同余式组表示：

N≡a1(modp1）， N≡a2(modp2），.....，N≡ak（modpk）（2）

例如，29不能够被以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。

29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于72=49 ，所以29是一个素数。

由于（2）的模 p1，p2，....，pk两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，（2）式在p1，p2，.....，pk范围内有唯一解。

例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，32）区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。如此，求得了（5，52 ）区间的全部素数。

仿此下去可以求得任意给定数以内的全部素数。

(六)用程序方法求素数。“若一个自然数n，判断n/k是否整除，先判断其能否整除2，若不能再判断其能否整除3，依次向下判断，当k>(n/k)时，判断结束。”如果所有判断都不能整除，则自然数N为素数。

公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来，费马、欧拉、高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。

古代中国

中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年，西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础，也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的，如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。

初等数论

初等数论有以下几部分内容：

1.整除理论。引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。

2.同余理论。主要出自于高斯的《算术研究》内容。定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。

3.连分数理论。引入了连分数概念和算法等等。特别是研究了整数平方根的连分数展开。主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。

4.不定方程。主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了四次费马方程的求解问题等等。

5.数论函数。比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。

6.高斯函数。

初等数论是一个理论层次

第一个层次叫做数学概念，是反映对象的本质属性的思维形式。人类在认识过程中，从感性认识上升到理性认识，把所感知的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，就成为概念。表达概念的语言形式是词或词组。科学概念，特别是数学概念要求更加严格，至少必须具备三个条件：专一性，精确性，可以检验。例如：”孪生素数“就是一个数学概念。

第二个层次叫做数学命题，数学命题是对一系列数学概念之间的关系作出判断的句子。一个命题要么真，要么不真（这由逻辑中的排中律保证）。真命题包含定理，引理，推论全称命题

第三个层次叫做数学理论，把方法，公式，公理，定理，原理，组合成为一个体系叫做数学理论。例如“初等数论”，由公理（例如等量公理），定理（例如费马小定理），原理（例如抽屉原理，一一对应原理），公式等组成。

在数学证明时，全称命题常常不能通过枚举法来判断真伪，这是因为数学有时面对的是无穷多个对象，永远不可能一一枚举出每一种情况。不完全归纳法在数学中是不可行的，数学只承认演绎逻辑（数学归纳法，超限归纳法等均属于演绎逻辑）。

代表人物

费马

费马在古典数论领域中的成果很多，比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法，引入了费马数等等。

与费马相关的著名结论如下：

费马小定理：a^p-a≡0(mod p)，其中p是一个素数，a是正整数。

事实上它是欧拉定理的一个特殊情况，Euler定理是说：a^φ(n)-1≡0(mod n),a，n都是正整数且互素，φ(n)是Euler函数，表示和n互素的小于n的正整数的个数。

费马大定理（当时是猜想）：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程相当艰深。

欧拉

引入欧拉函数，得到著名的欧拉定理——费马小定理推广；研究了连分数展开问题；用解析方法证明了素数无限；讨论平方和问题及哥德巴赫猜想——加性数论内容。