曲线拟合法

把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式

曲线拟合法（fit theory），俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合 (fitting)。

拟合直线或多项式曲线

方程在笛卡尔平面上是一条直线，而这条直线的斜率是a。因为任何两点可以决定一条直线，因此总能找到次数不多于1的多项式来串起任何两个x值相异的点。

如果把多次式的次数增加到2

那么只要给定x值各异的3点，总会有次数不多于2的多项式可以把它们串起。

如果把多次式的次数再增加到3

那么只要给定x值各异的4点，总会有次数不多于3的多项式可以把它们串起。

对于这条多项式，更正确的描述是这条多项式附合任何4个限制。限制可以是一点（x,y）、角度或曲率（即半径的倒数 1/R）。角度和曲率的限制通常在曲线的终端，因此称为终端条件。为了样条(spline) 的交接平滑，通常会用到全等的终端条件。也可以增加如曲率变化等高阶约束。例如，在高速公路立体交叉点苜蓿叶型的设计中，可以用来理解当汽车绕着交叉点运动时作用在汽车上的力，并依此设定合理的限定时速。

一次多项式也可以拟合一个单点和一个角度，三次多项式则可以拟合两点，一个角度约束以及一个曲率约束。许多其它类型的约束组合也同样可以用低阶或者高阶多项式来拟合。

判别拟合好坏

如果有超过n+1个约束（n是多项式的阶次），仍然可以使用多项式拟合。通常一个满足所有约束的精确拟合不一定能够得到（但是有可能得到，例如，用一次多项式拟合共线的三点三点共线）。通常，我们需要使用一些方法来评价拟合的好坏。最小平方法就是用来评价差别的一种常用的方法。

不通过提高多项式的次数来更好的拟合曲线的原因有下：

1）即使存在精确的拟合，也不意味着必须得到这样的拟合。根据使用的算法不同，我们可能遇到分歧，要么精确的拟合无法得到，要么需要太多的计算机时去得到精确的拟合。不管哪种情况，最终都会以得到近似拟合而结束。

2）通常人们会希望得到一个近似的拟合，而不愿为了精确拟合数据而使拟合的曲线产生扭曲。

3）高次多项式往往有高度波动的特性。如果我们通过两点“A”和“B”作一条曲线，我们希望这条曲线也能通过“A”和“B”的中点。但是对于高次多项式，情况就不是这样了，高次多项式曲线往往可能有很大或者很小的幅值。对于低次多项式，曲线将没有很大波动，而能通过中点（对于一次多项式，甚至能保证肯定通过中点）。

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