有序集

数学术语

设R是集合A上的二元关系，如果R是自反、反对称、传递的，那么称R为A上的序关系，如果集合A上有序关系R，则称A为有序集，用序偶表示。设为有序集，B是A的子集，则有如下相关定义：B的最小元、最大元、极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界及A的链、反链。对于有序集上各定义也有相关的定理，如若b为B的最大（最小）元，则b为B的极大（极小）元等等。

预备知识

序关系的定义

设R是集合A上的二元关系。如果R是自反、反对称、传递的，那么称R为A上的序关系（ordered relation）。如果集合A上有序关系R，则称A为有序集（ordered set），用序偶表示。

序关系的关系图

可对序关系的关系图进行简化，操作如下：

（1）由于序关系是自反的，各结点处均有环，约定全部省去；

（2）由于序关系是反对称且传递的，关系图任何两个不同结点之间不可能有相互反方向的边或通路，因此可约定边的向上方向为箭头方向，即若a≤b，则将结点a画在结点b之下，省略全部箭头；

（3）由于序关系传递，我们还可将由传递关系可推定的边也省去，即若a≤b，b≤c，则肯定应有a≤C，但省略a到c的有向边；

经过这种简化的表示序关系的有向图称为哈塞(Hasse)图。哈塞图既表示一个序关系，又表示一个有序集。

有序集的相关定义

设R是集合A上的二元关系。如果R是A上的序关系，则称A为有序集（ordered set），用序偶表示。有序集是在其元素之间定义了一个序的集合，例如，一切实数构成的集合、一切整数构成的集合，一切自然数构成的集合等关于通常的大小关系是有序集。还可表述为，有序集是由一个集合和这个集合中的一种序关系所组成的偶。

设为有序集，B A，则有如下相关定义：

B的最小元、最大元

（1）如果b∈B，且对每一个x∈B，b≤x，则称b为B的最小元。

（2）如果b∈B，且对每一个x∈B，x≤b，则称b为B的最大元。

B的极小元、极大元

（1）如果b∈B，并且没有x∈B，x≠b，使得x≤b，则称b为B的极小元。

（2）如果b∈B，并且没有x∈B，x≠b，使得b≤x，则称b为B的极大元。

B的上界、下界

（1）如果a∈A，且对每一个x∈B，x≤a，则称a为B的上界。

（2）如果a∈A，且对每一个x∈B，a≤x，则称a为B的下界。

B的上确界、下确界

（1）如果a是B的所有上界集合的最小元，则称a为B的最小上界或上确界。

（2）如果a是B的所有下界集合的最大元，则称a为B的最大下界或下确界。

A上的链、反链

（1）如果B中的任何两个元素都是可以比较的，则称B为A上的链；

（2）如果B中的任何两个不同元素都是不可比较的，则称B为A上的反链。

记|B|为链或反链的长度。

相似的有序集

如果在两个有序集S和T之间有一个保序的一一对应，则称两个有序集S和T是相似的，记作。