有理点

数学术语

数轴上表示有理数的点称为有理点，表示无理数的点称为无理点；在一个n维空间中的几何物体，它的每一点的坐标可以用(x1,x2,...,xn)表示，如果所有xi都是有理数，则称该点为有理点。

基本介绍

实数由有理数与无理数两部分组成，有理数包括零、正负整数和正负分数。有理数可写成的形式(其中p、q为整数，且 )，也可表示为整数、有限小数或无限循环小数，而无理数只能表示成无限不循环小数。

实数与数轴上的点是一一对应的．为了简便起见，我们常用同一个字母或数字既表示某个实数又表示以此实数为坐标的数轴上的对应点，比如，数a与点a，数与点，……

数轴上表示有理数的点称为有理点，表示无理数的点称为无理点。

有理点的稠密性

有理点具有稠密性，即数轴上任意两个不同的有理点之间一定存在无穷多个有理点；同样地，无理点也具有稠密性。有理数经过四则运算(除数不为零)其结果仍为有理数；而无理数经过四则运算其结果可能为无理数也可能为有理数。

设有一条水平直线，在这条直线上取定一点O，称为原点，规定一个正方向(习惯上规定由原点向右的方向为正方向)，再规定一个长度，称为单位长度，这种具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。

任何一个有理数，都可以在数轴上找到一个点与之对应，使得由原点到这点的长度与单位长度之比等于这样得到的点称为有理点，它是有理数的几何表示，而称为有理点的坐标，反之，数轴上任何一个有理点必对应于一个有理数。

任给两个有理数，在之间至少可以找到一个有理数c，使得a

虽然有理点在数轴上处处稠密，但是有理点尚未充满数轴。例如边长为一个长度单位的正方形，其对角线的长度为个长度单位，可以证明不是有理数，因此数轴上坐标为的点不是有理点，这种点也有无穷多个，而且在数轴上也是处处稠密的。例如，坐标为等的点都不是有理点，因此，数轴上除有理点之外还有无穷多个“空隙”，这些空隙处的点称为无理点，与无理点相对应的数称为无理数。

相关知识

人们对数的认识是逐步发展的，先是自然数，继而发展到有理数(即正负整数、正负分数及0)，再进一步就发展到无理数(例如、等都是无理数)．有理数可以表示为，无理数不能表示为，其中都是整数，且。

分数可以用有穷小数或无穷循环小数表示，反之，有穷小数或无穷循环小数亦可用分数表示。

因此，有理数可以表示为有穷小数或无穷循环小数，而无理数为无穷不循环小数。

有理数与无理数统称为实数，实数充满数轴而且没有空隙，这就是实数的连续性，由此可知，每一个实数必是数轴上某一个点的坐标；反之，数轴上每一点的坐标必是一个实数，这就是说全体实数与数轴上的全体点形成一一对应的关系，一般我们所研究的数都是实数，为了简单起见，常常将实数和数轴上与它对应的点不加区别，用相同的符号表示，如点a和实数a是相同的意思。

在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫格点，格点又称为整点；横、纵坐标都是有理数的点称为有理点，格点是有理点，不是有理点的点称为无理点。

直角坐标平面上顶点均为有理点的三角形称为有理点三角形，顶点均为格点的三角形称为格点三角形(或整点三角形)，类似地，顶点均为有理点的n(n>3)边形称为有理点n边形；顶点均为格点的n边形称为格点n边形(或整点n边形)。

有理点性质

性质1

设是有理点，P是的定比分点，若定比，则P点必为有理点。

特别地，两个有理点的中点是有理点。

性质2

过两个有理点的直线斜率是有理数。

利用性质1、性质2易得：有理点三角形（见“相关知识”）的重心、外心、垂心均为有理点，而它的内心未必是有理点。例如：顶点坐标为的三角形ABC的内心坐标为，是个无理点。

性质3

若是有理点三角形，则只要tanA、tanB、tanC有意义，它们就均为有理数。

由是无理数知有理点三角形不可能是正三角形，特别地，格点三角形不可能是正三角形。