有限差分

数学术语

有限差分，是微分方程解的近似值。

简介

有限差分是形式为f(x+b)-f(x+a)的数学表达式。如果有限差分除以b-a，则得到差商。有限差分导数的逼近在微分方程数值解的有限差分方法，特别是边界值问题，起着关键的作用。

某些递归关系可以用有限差分代替迭代符号写成差分方程。

而目前，“有限差分”这个词通常被认为是有限差分的导数的近似同义词，即有限差分商。尤其是在数值方法中，有限差分法是一种常用的数值解法，它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值。地球物理正演模拟时常应用这种方法。

三种形式

有限差分通常考虑三种形式：正向，反向和中心差分。

正向差分的表达形式：，根据应用，间距h可以是可变的或恒定的。省略时，h取为1：。

反向差分使用在x,x−h之间的函数值，而不是在x+h,x之间的值：。

中心差分则是，。

与导数的关系

函数f在点x的导数是由极限定义的，。

如果h有一个固定的(非零)值，而不是趋近于零，那么上述方程的右边就会写出来，。

因此，正向差分除以h近似于h很小的导数。这个近似的误差可以从泰勒定理得到。假设f是可微的，我们有当。

同样的公式适用于反向差分：当。

然而，中心差分产生了一个更精确的近似。如果f是可微的，。

然而，中心差分法的主要问题是振荡函数可以产生零导数。如果用中心差分计算的话，n奇数时，f(nh)= 1 ；n为偶数时，f(nh)= 2，那么f '(nh)= 0。如果f的域是离散的，这就更复杂。

有专家认为，有限差分近似定义了正/反向/中心差分。

有限差分的推广

广义有限差分通常定义为。

其中μ=（μ0，…，μN）是它的系数向量。在这里有限差分被一个无穷级数取代。另一种泛化方法是使系数μk依赖于点x：μk=μk（x），因此考虑加权有限差分。同样，也可以使h依赖于点x：h = h(x)。这样的概括对于构造不同的连续性模量是很有用的。

应用

有限差分法又称差分方法。一种以差商代替微商，以差分方程逼近微分方程，通过求网格点上的函数值来求解偏微分 (或常微分) 方程和方程组定解问题的数值解法。基本作法是：把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式 (亦称差分方程)，进而求出数值解。方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现; 是解各类数学物理问题的主要数值方法，也是计算力学中的主要数值方法之一。在固体力学中，有限元法出现以前，主要采用差分方法; 在流体力学中，仍然是主要的数值方法，对依赖于时间发展的方程，更是如此。

在杆系结构稳定中，将稳定问题中的中性平衡微分方程近似地用差分方程代替以确定临界荷载的一种数值方法。宜与电子计算机配合应用。其要点为：先写出该稳定问题的中性平衡微分方程，利用差分公式把微分方程中未知函数υ(x) 的各阶导数 (或偏导数) 用有限个差分结点的函数值来表示，从而将微分方程近似地用相应的差分方程组来代替。这样便把中性平衡微分方程化为含有n个未知量的齐次线性代数方程组，据此可导出其稳定方程，进而可求得临界荷载的近似解。所取差分结点越多，计算结果越精确。它属于应用静力准则求解稳定问题的近似法。为了提高计算精度，常辅以里查森外推法。用有限差分法只能求得临界荷载的近似值而不能得到挠度函数υ(x)的表达式。

求解微分方程

简称差分法或网格法，是求微分方程和积分一微分方程的数值解的一种主要的计算方法。它的基本思想是：把连续的定解区域用由有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点被称为网格的结(节)点;把在连续定解区域上定义的连续变量函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似。于是原方程和定解条件就可用代数方程组来近似地代替，解此代数方程组就得到原问题的近似解。这种方法简单、通用，易于在电子计算机上实现。

有限差分方法有漫长的历史，源于牛顿、欧拉等人的工作，他们曾用差商代替微商以简化计算。1928年，库朗、卢伊等人证明了三大典型方程的典型差分格式的收敛性定理，为现代有限差分理论提供了基础。同时，库朗把有限差分法用于求偏微分方程的数值解，发展了这一方法。由于有限差分方法具有通用性，又便于机器实现，因而在电子计算机产生和广泛应用后更得到很大发展及更广泛的应用。冯 ·诺伊曼于1948年对无粘流体(非线性双曲型)方程提出的引入人工粘性项的差分方法是一个典型例子，他还同时提出计算稳定性概念和线性化傅立叶方法来分析稳定性。后来拉克斯等人建立了一般差分格式的收敛性、稳定性等价定理。人工粘性法成为现代流体计算的主导方法之一，而得出这种方法的自适应的算法思想也给其他计算方法的发展以很大的启发和影响。在现代，有限差分方法应用于各类微分方程和积分—微分方程的各种定解问题，如常微分方程初值问题、边值问题，偏微分方程初值问题、边值问题，玻耳兹曼方程，计算流体力学等等。它是把微分方程离散化，从而求其数值解的基本方法之一。

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