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有限布尔代数

布尔代数的种类

有限布尔代数(finite Boolean algebra)是一种常用的布尔代数，指论域B是有限集的布尔代数。有限布尔代数的论域B的元素个数必是2的方幂2n(n=1，1，2，…)，n=0时的布尔代数是仅含一个元素的退化布尔代数，n=1时的布尔代数仅含0和1两个元素，称为二元布尔代数，区分有限与无限布尔代数是有意义的，因为有限布尔代数必是原子布尔代数，从而它同构于某个集A的所有子集构成的布尔代数；但一个无限布尔代数未必是一个原子布尔代数，故它无上述性质。

基本介绍
定义1 具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
对于有限布尔代数，有以下的结论：对于每一正整数n，必存在含有2n个元素的布尔代数；反之，任一有限布尔代数，它的元素个数必为2的幂次。元素个数相同的布尔代数都是同构的。
定义2 设是一个布尔代数，a∈B且a≠0，若任意x∈B，有x∧a=a或x∧a=0， 则称元素a为原子。
显然原子是0的覆盖，且若元素a覆盖0，则a必是原子。
相关定理
定理1 设是一个布尔代数，a, b∈B是B的原子。若a≠b，则a∧b=0。
证明：假设a∧b≠0，由于a是原子，所以a∧b=b∧a=a。又b是原子，因此a∧b=b, 从而得到a=b，与已知条件a≠b矛盾。
定理2 设是一个有限布尓代数，任意b∈B，若b≠0，则至少存在一个原子a，使得a
证明：如果b是原子，那幺由bb得证。
如果b不是原子,那幺必存在b1使得0
由于B有限,且有全下界0,故通过有限歩骤总可找到一个原子bi，使得。它是中的一条链，其中bi是原子，且bi
定理3 设是一个有限布尓代数，任意b∈B，b≠0，令T(b)=是B中所有小于等于b的原子构成的集合，则，称这个表示式为a的原子表示,且是唯一的表示，这里的唯一性是指:若，则有
定理4 ( Stone表示定理)设是一个有限布尔代数，S是B中的所有原子的集合，则和S的幂集代数(P(S),∪，∩，~，∅，S)同构。
由定理4可得如下推论:
推论1 有限布尔代数的元素个数必定等于 2n，其中n是该布尔代数中所有原子的个数。
推论2 任何一个具有2n个元素的有限布尔代数都是同构的。
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