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有限覆盖定理

数学定理

有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。

定律定义
在讲有限覆盖定理之前，先介绍覆盖的概念。
覆盖：设有任意个区间（可以是开区间，也可以是闭区间，还可以是半开半闭区间；可以是有限个区间，也可以是无限个区间），它们构成了一个集合H（集合H的所有元素均为区间）。如果对于一个数集S，S中的任意一个元素都属于H中的至少一个区间，那么称H是S的一个覆盖。
它的等价定义为，若S包含于任意个区间所构成的并集，则称这些区间构成的集合H是S的一个覆盖。
特别地，当H中的元素全部为开区间时，称H是S的开覆盖。
例如，数集 ，它的一个覆盖为 。这是因为，对任意0
同理， 也是S的一个覆盖，因为S包含于H'中的元素所构成的并集 。
有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。
推导过程
该定理反应了实数的完备性，可以用戴德金定理来证明。
设闭区间[a,b]有一个无限开覆盖H，下面结合反证法证明[a,b]能被H中的有限个开区间覆盖。
假设[a,b]不能被H中的有限个开区间覆盖，在开区间(a,b)上找一个数x，使闭区间[a,x]被H中的有限个开区间覆盖。这样的x一定存在，∵[a,b]被H覆盖，∴ 。那么，在区间(a,n)内任取一个数为x（且该x落在(a,b)上），则有m
令所有这些x，连同区间(-∞,a]上的所有数构成一个数集A，并把A在实数集R中的补集设为B。则：
①由取法可知A、B皆非空；
②A∪B=R；
③根据取法，A中的数都落在区间(-∞,x]上（且[a,x]可以被H的有限个开区间覆盖），而B中的数落在(x,+∞)上（且[x,b]不能被H的有限个开区间覆盖），∴A中任意一个元素都小于B中任意一个元素。
根据戴德金定理，存在唯一实数η，使η是A、B的分界点，且η要么是A中最大值，要么是B中最小值。
假设η是A中的最大值，显然有η∈(a,b)。那么，
∵[a,η]被H中有限个开区间覆盖（并设这有限个开区间构成的集合为H1，H1⊂H）
∴
取足够小的ε>0，使η+ε仍落在区间(p,q)内，这样一来，[a,η+ε]依然可以被H1所覆盖。而H1是H的有限个开区间构成的集合，即[a,η+ε]被H的有限个开区间所覆盖。
∴η+ε∈A，与η是A中最大值相矛盾。
若η是B中的最小值，η∈(p2,q2)∈H,取足够小的ε>0，使η-ε仍大于p2，则η-ε∈A。
∴[a,η-ε]被H中有限个开区间覆盖（并设这有限个开区间构成的集合为H2，H2⊂H）。在H2中加上区间(p2,q2), 形成集合H3，那么H3仍是H中有限个开区间构成的集合。
这样一来，容易证明[a,η]可以被H3所覆盖。而H2是H的有限个开区间构成的集合，即[a,η]被H的有限个开区间所覆盖。
∴η∈A，与η是B中最小值相矛盾。
∴一开始的假设不成立，[a,b]必然被H中的有限个开区间覆盖，定理得证。
适用范围
有限覆盖定理必须注意两个条件。
一是被覆盖的区间必须是闭区间，开区间或半开半闭区间不成立。例如对区间 来说， 是其一个无限开覆盖。但显然，无论n取值为多少，区间 上依然有 的无穷多个数，因此不能从H中选择有限个区间来覆盖 。
二是用来覆盖闭区间的必须是开区间，闭区间或半开半闭区间不成立。例如对区间 来说， （n=1,2,3,……）是其一个无限覆盖，显然也找不出有限个子区间来覆盖 。
应用领域
有限覆盖定理是实数定理，还有确界存在定理；单调有界定理；闭区间套定理；聚点定理；柯西收敛准则的逆否命题。这6个定理是等价的，可以互相推出对方，它们都反应了实数的连续性与完备性，在数学分析上有着重要的运用。
尤其是有限覆盖定理，它可以推广到n维空间（此时定理的描述会发生改变，但本质不变），从而定义了紧集和紧空间等。
当然，利用有限覆盖定理，还可以证明闭区间上连续函数的某些性质。在这里作为例子，利用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数一致连续。
已知：f(x)在闭区间[a,b]上有定义，且f(x)连续。求证：f(x)在闭区间[a,b]上一致连续。
证明：
∵f(x)在[a,b]上连续
∴对任意x0∈[a,b]，
上式中的δ0(ε,x0)表示δ是ε和x0的函数，而即意味着。
固定ε，只让x0在区间[a,b]上变化，则一般来说δ0也要发生变化。当x0取遍[a,b]上的所有实数时，[a,b]将被所有x0的邻域构成的集合S覆盖，或者说S是[a,b]的一个无限开覆盖。
由有限覆盖定理得S中有有限个开区间能覆盖住[a,b]，不妨设这有限个开区间构成的集合为。
令（∵i为有限正整数，∴δi为有限个，在这有限个δi之中一定有最小值），这个δ不再与x0有关，是因为无论对[a,b]上的哪个数xi，当时，总有。下证对任意x'和x''∈[a,b]，当|x'-x''|<δ时，总有|f(x')-f(x'')|<ε。
事实上，由连续的定义，
那么，当
时，有
显然，ε是任意正数，那么2ε也是任意正数，也相应地存在正数2δ。这就证明了f(x)在[a,b]上一致连续。
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